Question

三角形ABC中，BC=6，AB=2AC，P为BC延长线上一点，且CP=2，
（1）当AB=8时，求三角形ABC的面积；
（2）当AB变化时，求证：AP的值为定值，并求出这个定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）过C作CD垂直于AB，交AB于D，求出CD的长，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积，设BD=x，则AD=8-x，在直角三角形BDC和直角三角形ADC中，利用勾股定理列出两关系式，分别记作①和②，①-②消去CD²得到关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，把求出的x的值代入①即可求出CD的长，得到三角形ABC的面积；
（2）过A作AE垂直于CP，设CE=x，AE=y，AC=a，AB=2a，在直角三角形ACE中，利用勾股定理列出关系式，记作①，在直角三角形ABE中，根据勾股定理再列出关系式，记作②，①-②得到关系式③，然后在直角三角形APE中，利用勾股定理表示出AP²，将①和③代入即可求出AP的长，故为定值．
解答：解：（1）过C作CD⊥AB，交AD于D，
设BD=x，则AD=8-x，又BC=6，AB=8，AC=AB=4，
在Rt△BDC中，根据勾股定理得：x²+CD²=6²①，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：（8-x）²+CD²=4²②，
联立①②，消去CD²得：x²-36=（8-x）²-16，
即16x=84，解得：x=，
把x=代入①得：CD==，
则S_△ABC=AB•CD=×8×=3；

（2）过A作AE⊥CP，交CP于E，如图所示：
设CE=x，AE=y，AC=a，AB=2a，
在Rt△ACE中，根据勾股定理得：x²+y²=a²①，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得：（6+x）²+y²=（2a）²②，
①-②得：-4x=12-a²③，
在Rt△AEP中，根据勾股定理得：
AP²=AE²+EP²=y²+（2-x）²=x²+y²-4x+4，
将①和③代入得：AP²=a²+12-a²+4=16，
开方得：AP=4，
则AP的值为定值，且定值为4．
点评：此题考查了勾股定理，以及三角形面积的求法．此题利用勾股定理先后建立三个方程，建立转换条件，使问题得以解决，这些由定理得到的结论都呈现着等式特征，因而用方程的方法得以实施．应用此方法解决问题时，关键是抓住几何问题中所阐明的相等关系，代数问题有的可以用几何的方法求解，几何问题也可以用代数的方法求解，这种数形转换，实质也是一种建模方法．