Question

7．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，点C在$\widehat{AB}$上，若BC=4，AC=5$\sqrt{2}$，则扇形OAB的面积为$\frac{53π}{4}$．

Answer 1

分析 根据题意结合圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出∠ACB=135°，进而利用锐角三角函数关系以及勾股定理得出AO的长进而求出即可．

解答 解：过点A作AE垂直延长BC于点E，连接AB，
∵∠AOB=90°，
∴∠ACB=135°，
∴∠ECA=45°，
∴EC=AE，
∵AC=5$\sqrt{2}$，
∴AE=EC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×5$\sqrt{2}$=5，
∴BE=9，
则AB=$\sqrt{B{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{106}$，
∴AO=BO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{106}$=$\sqrt{53}$，
∴扇形OAB的面积为：$\frac{90π×（\sqrt{53}）^{2}}{360}$=$\frac{53π}{4}$．
故答案为：$\frac{53π}{4}$．

点评 此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质和扇形面积求法等知识，得出AB的长是解题关键．