Question

（2011•北京）在?ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

Answer 1

解：（1）如图1，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF．
（2）∠BDG=45°
（3）解：分别连接GB、GE、GC，

∵AD∥BC，∠ABC=120°
∴∠ECF=∠ABC=120°
∵FG∥CE且FG=CE，
∴四边形CEGF是平行四边形，
由（1）得CE=CF．
∴四边形CEGF是菱形，
∴GE=EC，①
∠GCF=∠GCE=∠ECF=60°，
∴△ECG是等边三角形．
∴EG=CG，∠GEC=∠EGC，
∴∠GEC=∠FGC，
∴∠BEG=∠DCG，②
由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
在?ABCD中，AB=DC，
∴BE=DC，③
由①②③得△BEG≌△DCG，
∴BG=DG，∠1=∠2
∴∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°，
∴∠BDG==60°

略