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    22、如图1，点C位线段BG上一点，分别以BC、CG为边向外作正方形BCDA和正方形CGEF，使点D落在线段FC上，连接AE，点M位AE中点
    （1）求证：MD=MF，MD⊥MF
    （2）如图2，将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°，其他条件不变，探究：线段MD、MF的关系，并加以证明；
    （3）如图3，将正方形AGEF绕点C旋转任意角度后，其他条件不同，探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．

    分析：（1）如图1，延长DM交FE于N，根据AM=ME，AD∥EF证明△AMD≌△EMN，得出NE=AD=DC，DM=MN，又FE=FC，可得FD=FN，则△DFN为等腰直角三角形，FN为斜边DN上的中线，可证MD=MF，MD⊥MF；
    （2）MD=MF，MD⊥MF．如图2，延长DM交CE于N，连接FD、FN，同（1）方法证明△ADM≌△ENM，得DM=MN，利用“SAS”证明，△FDC≌△FNE，得FD=FN，∠5=∠6，可证∠DFN=90°，△DFN为等腰直角三角形，FN为斜边DN上的中线，可证MD=MF，MD⊥MF；
    （3）FM⊥MD，MF=MD．如图3，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN，，利用（1）的方法证明，△AMD≌△EMN，以下证明方法同（2）．
    解答：证明：（1）如图1，延长DM交FE于N，

    ∵正方形ABCD、CGEF，
    ∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，
    ∴∠1=∠2，
    又∵MA=ME，∠3=∠4，
    ∴△AMD≌△EMN，
    ∴MD=MN，AD=EN．
    ∵AD=DC，
    ∴DC=NE．
    又∵FC=FE，
    ∴FD=FN．
    又∵∠DFN=90°，
    ∴FM⊥MD，MF=MD；

    （2）MD=MF，MD⊥MF．
    如图2，延长DM交CE于N，连接FD、FN．

    ∵正方形ABCD，
    ∴AD∥BE，AD=DC，
    ∴∠1=∠2．
    又∵AM=EM，∠3=∠4，
    ∴△ADM≌△ENM，
    ∴AD=EN，MD=MN．
    ∵AD=DC，
    ∴DC=NE．
    又∵正方形CGEF，
    ∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°．
    又∵正方形ABCD，
    ∴∠BCD=90°，
    ∴∠DCF=∠NEF=45°，
    ∴△FDC≌△FNE，
    ∴FD=FN，∠5=∠6，∠DFN=∠5+∠CFN=∠6+∠CFN=90°，
    ∴△DFN为等腰直角三角形，且FN为斜边DN上的中线，
    ∴MD=MF，MD⊥MF；

    （3） FM⊥MD，MF=MD．
    如图3，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN．

    ∴∠ADC=∠H，AD∥EH，
    ∴∠3=∠4．
    ∵AM=ME，∠1=∠2，
    ∴△AMD≌△EMN，
    ∴DM=NM，AD=EN．
    ∵正方形ABCD、CGEF，
    ∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°．
    ∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE．
    ∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°，
    ∴∠DCF=∠5=∠NEF．
    ∵FC=FE，
    ∴△DCF≌△NEF．
    ∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．
    ∵∠CFE=90°，
    ∴∠DFN=90°．
    ∴FM⊥MD，MF=MD．
    点评：本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．关键是根据（1）得出证明问题的一般方法，在图形变化过程中，寻找不变的关系．
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    1
    2
    ；若OD2=
    1
    3
    OA、OE2=
    1
    3
    OB、OF2=
    1
    3
    OC，则△D2E2F2的周长为
    1
    3
    ；…若ODn=
    1
    n
    OA、OEn=
    1
    n
    OB、OFn=
    1
    n
    OC，则△DnEnFn的周长为
    1
    n
    1
    n
    ．（用正整数n表示）

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