Question

4．如图，已知二次函数y₁=ax²+bx过（-2，4），（-4，4）两点．
（1）求二次函数y₁的解析式；
（2）将y₁沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y₂，直线y=m（m＞0）交y₂于M、N两点，求线段MN的长度（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，y₁、y₂交于A、B两点，如果直线y=m与y₁、y₂的图象形成的封闭曲线交于C、D两点（C在左侧），直线y=-m与y₁、y₂的图象形成的封闭曲线交于E、F两点（E在左侧），求证：四边形CEFD是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法即可解决问题．
（2）先求出抛物线y₂的顶点坐标，再求出其解析式，利用方程组以及根与系数关系即可求出MN．
（3）分两种情形，用类似（2）的方法，分别求出CD、EF即可解决问题．

解答 解：（1）∵二次函数y₁=ax²+bx过（-2，4），（-4，4）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b=4}\\{16a-4b=4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴二次函数y₁的解析式y₁=-$\frac{1}{2}$x²-3x．
（2）∵y₁=-$\frac{1}{2}$（x+3）²+$\frac{9}{2}$，
∴顶点坐标（-3，$\frac{9}{2}$），
∵将y₁沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y₂，
∴抛物线y₂的顶点坐标（-1，-$\frac{9}{2}$），
∴抛物线y₂为y=$\frac{1}{2}$（x+1）²-$\frac{9}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=m}\\{y=\frac{1}{2}（x+1）^{2}-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$消去y整理得到x²+2x-8-2m=0，设x₁，x₂是它的两个根，
则MN=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{8m+36}$=2$\sqrt{2m+9}$，
（3）①当C、D在y₁上，E、F在y₂上时，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=m}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-3x}\end{array}\right.$消去y整理得到x²+6x+2m=0，设两个根为x₁，x₂，
则CD=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{36-8m}$=2$\sqrt{9-2m}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-m}\\{y=\frac{1}{2}（x+1）^{2}-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$消去y得到x²+2x-8+2m=0，设两个根为x₁，x₂，
则EF=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{36-8m}$=2$\sqrt{9-2m}$，
∴EF=CD，EF∥CD，
∴四边形CEFD是平行四边形．
②当C在y₂，D在y₁上时，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=m}\\{y=\frac{1}{2}（x+1）^{2}-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$时，消去y得到x²+2x-8-2m=0，解得x=-1±$\sqrt{9+2m}$，
∴点C横坐标为-1-$\sqrt{9+2m}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=m}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-3x}\end{array}\right.$消去y整理得到x²+6x+2m=0，解得x=-3±$\sqrt{9-2m}$，
∴点D的横坐标为-3+$\sqrt{9-2m}$，
∴CD=-3+$\sqrt{9-2m}$-（-1-$\sqrt{9+2m}$）=-2+$\sqrt{9-2m}$+$\sqrt{9+2m}$，
同理可得EF=-2+$\sqrt{9-2m}$+$\sqrt{9+2m}$，
∴EF=CD，EF∥CD，
∴四边形CEFD是平行四边形．

点评 本题考查二次函数综合题、根与系数关系、平行四边形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，记住公式|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，属于中考压轴题．