Question

如图1，P₁、P₂、P₃、…、P_n分别是抛物线y=x²与直线y=x、y=2x、y=3x、…、y=kx的交点，连接P₁P₂、P₂P₃，…，P_k-1P_k．
（1）求△OP₁P₂的面积，并直接写出△OP₂P₃的面积；
（2）如图2，猜想△OP_k-1P_k的面积，并说明理由；
（3）若将抛物线y=x²改为抛物线y=ax²，其它条件不变，猜想△OP_k-1P_k的面积（直接写出答案）．

Answer 1

分析：（1）求三角形OP₁P₂的面积，要想利用P₁、P₂的坐标就必须通过构建三角形，根据其他三角形的面积的“和，差”关系来求出三角形OP₁P₂的面积．
过P₂作x轴的垂线交y=x于M，然后过P₁作P₁N⊥P₂M于N，那么三角形OP₁P₂的面积就是三角形OP₂M和P₁P₂M的面积差，然后通过求P₁、P₂、M点的坐标，得出P₂M的长以及以P₂M为底边的三角形OP₂M和P₁P₂M的高，进而可求出三角形OP₁P₂的面积．
求三角形PO₂P₃的面积时，方法同上．
（2）（3）方法同（1）．

解答：解：（1）∵P₁是抛物线y=x²与直线y=x交点，
由x²=x，解得x₁=1，x₂=0（舍去）
代入，y=x，解得y=1
所以P₁点坐标为（1，1）
同理，可求出P₂点坐标为（2，4）
过P₂作x轴的垂线交直线y=x于M，
过P₁作P₁Q⊥P₂M于N
∵M在直线y=x上，
∴M点坐标为（2，2），
∴P₂M=4-2=2
PN=2-1=1
∴S_△OP1P2=S_△OMP2-S_△P1MP2=

1

2

×2×2-

1

2

×2×1=1．
△OP₂P₃的面积是3

（2）△OP_k-1P_k的面积是

1

2

k（k-1）
方法同（1），求得P_k点坐标为（k，k²），
P_k-1坐标为（k-1，k²-2k+1），
M坐标为（k，k²-k）
∴P_KM=k²-k（k-1）=k
∴S_△OPk-1P_k=

1

2

×k×k-

1

2

×k×1=

1

2

k（k-1）

（3）△OP_k-1P_k的面积是

1

2a2

k（k-1）．

点评：本题结合三角形面积的求法考查了一次函数和二次函数的综合应用，通过构建三角形从而利用直线与抛物线的交点来求三角形的面积是解题的基本思路．