如图.菱形ABCD的边长为6cm.∠DAB=60°.点M是边AD上的一点.且DM=2cm.点E.F分别从A.C同时出发.以1cm/s的速度分别沿边AB.CB向点B运动.EM.CD的延长线相交于G.GF交于O.设运动时间为x(s).△CGF的面积为y(cm2)．(1)当x为何值是.GF⊥AD,(2)求y与x之间的函数关系式,(3)是否存在某一时刻.使得线段GF把菱形ABCD分成的上� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，菱形ABCD的边长为6cm，∠DAB=60°，点M是边AD上的一点，且DM=2cm，点E、F分别从A、C同时出发，以1cm/s的速度分别沿边AB、CB向点B运动，EM、CD的延长线相交于G，GF交于O，设运动时间为x（s），△CGF的面积为y（cm²）．
（1）当x为何值是，GF⊥AD；
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使得线段GF把菱形ABCD分成的上下两部分的面积之比为5：7？

分析（1）如果GF⊥AD，那么GF与BC也垂直，由此可得出∠CGF=30°，即CF=$\frac{1}{2}$GC，可用x表示出CF、GC，根据GF，GC的比例关系式可得出关于x的方程，即可求出x的值．
（2）过F作FH⊥DC于H点，则有y=$\frac{1}{2}$GC•FH，利用相似三角形的性质和正弦的概念求得GC和FH的值即可；
（3）过D作DP⊥BC于P，由菱形的高PD=6×sin60°=$3\sqrt{3}$，求得菱形的面积，所以当S_梯形ODCF=$\frac{1}{6}$S_菱形时有使得线段GF把菱形ABCD分成的上、下两部分的面积之比为5：7，利用相似三角形的性质，用x表示出梯形的上下底OD，CF，代入面积公式中建立方程而求解．

解答解：（1）∵GF⊥AD，AD∥BC
∴GF⊥BC
∵∠C=60°，
∴∠CGF=30°
∴CF=$\frac{1}{2}$GC
∵DM=2cm
∴AM=4cm
∵△DMG∽△AME，
∴$\frac{DG}{AE}=\frac{DM}{AM}$，
∴$\frac{GD}{x}=\frac{2}{4}$，
∴DG=$\frac{x}{2}$，
∴GC=6+$\frac{x}{2}$，
∴x=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$x+6）
∴x=4
∴当x=4时，GF⊥AD；
（2）∵△DMG∽△AME，
∴$\frac{DG}{AE}=\frac{DM}{AM}$，
∴DG=$\frac{DM•AE}{AM}=\frac{2x}{4}=\frac{x}{2}$，
∴GC=6+$\frac{x}{2}$，
过F作FH⊥DC于H点，
∴FH=CF•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$GC•FH，
y=$\frac{1}{2}（6+\frac{x}{2}）•\frac{\sqrt{3}}{2}x=\frac{\sqrt{3}}{8}{x}^{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}x$；
（3）设运动x（s）时，GF分菱形上、下两部分的面积比为5：7，
此时△OGD∽△FGC，
∴$\frac{GD}{GC}=\frac{OD}{FC}$，
∴$OD=\frac{GD•FC}{GC}=\frac{\frac{x}{2}•x}{6+\frac{x}{2}}=\frac{{x}^{2}}{x+12}$，
过D作DP⊥BC于P，则PD=6×sin60°=$3\sqrt{3}$，
由题意知，$\frac{1}{2}（\frac{{x}^{2}}{x+12}+x）•3\sqrt{3}=\frac{5}{12}×6×3\sqrt{3}$，
即$\frac{{x}^{2}}{x+12}+x=5$，
解得：${x}_{1}=4，{x}_{2}=-\frac{15}{2}$（舍去），
经检验：x=4是原方程的解．
∴当x=4时，GF分菱形上、下两部分的面积比为5：7．

点评本题考查了菱形的性质，锐角三角函数的概念，相似三角形的判定和性质，一元一次方程的解法以及待定系数法求函数的解析式．

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