Question

如图，已知圆O的弦AB被点C、D三等分，又E、F是弧AB的三等分点，连接EC、FD交于S，连接SA、SB，求证：∠ASB=

1

3

∠AOB．

Answer 1

分析：可连接OE、OF、AE、AF，延长SA交FE的延长线于K，由于E、F是弧AB的三等分点，即

AE

=

BF

，得出AB∥EF，进而得出对应线段成比例，由线段之间的关系得出∠KAF=90°，得出OE∥SA，以及OF∥SB，进而可求解结论．

解答：证明：连接OE、OF、AE、AF，延长SA交FE的延长线于K，
∵

AE

=

BF

，
∴AB∥EF，
∴

KE

AC

=

SE

SC

=

EF

CD

，
∵AC=CD，
∴KE=EF=AE，∠KAF=90°，
FA⊥SA，又

AE

=

EF

，
∴OE⊥FA，OE∥SA，
同理可证OF∥SB，
∴∠ASB=∠EOF=

1

3

∠AOB．

点评：本题主要考查了圆心角、弦及弧之间的关系和平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握．