Question

关于x的一元二次方程（m²-1）x²-2（m-2）x+1=0．
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）点A（-1，-1）是抛物线y=（m²-1）x²-2（m-2）x+1上的点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得，△=[-2（m-2）]²-4（m²-1）＞0，
解得，m＜，
又∵m²-1≠0，
解得，m≠±1；
当m＜且m≠±1时，方程有两个不相等的实数根．

（2）由题意得，m²-1+2（m-2）+1=-1，
解得，m=-3，m=1（舍），
y=8x²+10x+1．

（3）抛物线的对称轴是x=-，
由题意得，B（-，-1）；
x=-与抛物线有且只有一个交点B；
另设过点B的直线y=kx+b（k≠0），
把B（-，-1）代入y=kx+b，得-，
b=k-1，
y=kx+-1，
，
整理得，8x²+（10-k）x-k+2=0；
有且只有一个交点，△=，
解得，k=6，
y=6x+，
综上，与抛物线有且只有一个交点B的直线的解析式有x=-，y=6x+．
分析：（1）首先列出方程的根的判别式，若方程有两个相等的实数根，那么判别式必大于0，可据此求出m的取值范围，需要注意的是，此方程式一元二次方程，二次项系数不等于0的条件不能丢．
（2）将点A的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出m的值，从而确定该抛物线的解析式．
（3）首先根据抛物线的对称轴得到点B的坐标，然后分两种情况考虑：①此直线过B点且与y轴平行，显然这种情况符合题意；②若直线与y轴不平行，那么可根据点B的坐标设出该直线的解析式（只有一个未知系数），若此直线与抛物线只有一个交点，那么联立直线和抛物线所得方程的根的判别式应该等于0，可据此确定直线的解析式．
点评：此题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式，函数图象交点坐标的求法等知识，难度适中．