【题目】如图1,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D,
(1)求证: △BCE≌△CAD;
(2)猜想:AD,DE,BE的数量关系为 (不需证明);
(3)当CE绕点C旋转到图2位置时,猜想线段AD,DE,BE之间又有怎样的数量关系,并证明你的结论.
【答案】(1)证明见解析;(2)DE= AD-BE;(3)DE= BE-AD.
【解析】
(1)根据题意利用同角的余角相等得到,然后利用AAS定理进行证明;(2)根据△BCE≌△CAD,得出对应边相等,再利用线段之间的转化,进而可得出结论;(3)还是先求解△BCE≌△CAD,利用线段之间的转化得出结论.
(1)解:∵∠ACB=90°,BE⊥CE,AD⊥CE
∴
∴
在△BCE和△CAD中
∴△BCE≌△CAD(AAS)
(2)证明:由(1)可知:△BCE≌△CAD,
∴AD=CE,BE=CD,
∴DE=CE-CD=AD-BE.
故答案为:DE= AD-BE
(3)∵∠ACB=90°,BE⊥CE,AD⊥CE
∴
∴
在△BCE和△CAD中
∴△BCE≌△CAD(AAS)
∴AD=CE,BE=CD,
DE=CD-CE=BE-AD.
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【题目】(1)阅读理解:
我们知道,只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角,但是这个任务可以借助如图1所示的一边上有刻度的勾尺完成,勾尺的直角顶点为P,
“宽臂”的宽度=PQ=QR=RS,(这个条件很重要哦!)勾尺的一边MN满足M,N,Q三点共线(所以PQ⊥MN).
下面以三等分∠ABC为例说明利用勾尺三等分锐角的过程:
第一步:画直线DE使DE∥BC,且这两条平行线的距离等于PQ;
第二步:移动勾尺到合适位置,使其顶点P落在DE上,使勾尺的MN边经过点B,同时让点R落在∠ABC的BA边上;
第三步:标记此时点Q和点P所在位置,作射线BQ和射线BP.
请完成第三步操作,图中∠ABC的三等分线是射线 、 .
(2)在(1)的条件下补全三等分∠ABC的主要证明过程:
∵ ,BQ⊥PR,
∴BP=BR.(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等)
∴∠ =∠ .
∵PQ⊥MN,PT⊥BC,PT=PQ,
∴∠ =∠ .
(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上)
∴∠ =∠ =∠ .
(3)在(1)的条件下探究:是否成立?如果成立,请说明理由;如果不成立,请在图2中∠ABC的外部画出(无需写画法,保留画图痕迹即可).
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【题目】如图,在正方形ABCD中,E为直线AB上的动点(不与A,B重合),作射线DE并绕点D逆时针旋转45°,交直线BC边于点F,连结EF.
探究:当点E在边AB上,求证:EF=AE+CF.
应用:(1)当点E在边AB上,且AD=2时,则△BEF的周长是______.
(2)当点E不在边AB上时,EF,AE,CF三者的数量关系是______.
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【题目】如图,在△ABC 中,AB=AC,点D,E在边BC上,且BD=CE.
(1)求证: △ABD≌△ACE;
(2)若∠B=40°,AB=BE,求∠DAE的度数.
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【题目】如图:在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连接AD、AG.
(1)求证:AD=AG;
(2)AD与AG的位置关系如何,请说明理由.
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【题目】“校园安全”受到全社会的广泛关注,东营市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度,采用随机抽样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了下面两幅尚不完整的统计图.请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:
(1)接受问卷调查的学生共有_______人,扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为_______°;
(2)请补全条形统计图;
(3)若该中学共有学生900人,请根据上述调查结果,估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数;
(4)若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛,请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率.
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【题目】已知:如图,∠B=90°AB∥DF,AB=3cm,BD=8cm,点C是线段BD上一动点,点E是直线DF上一动点,且始终保持AC⊥CE。
(1)试说明:∠ACB =∠CED
(2)当C为BD的中点时, ABC与EDC全等吗?若全等,请说明理由;若不全等,请改变BD的长(直接写出答案),使它们全等。
(3)若AC=CE ,试求DE的长
(4)在线段BD的延长线上,是否存在点C,使得AC=CE,若存在,请求出DE的长及△AEC的面积;若不存在,请说明理由。
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是等腰梯形,BC∥OA,OA=7,AB=4,∠ COA=60°,点P为x轴上的—个动点,点P不与点O、点A重合.连结CP,过点P作PD交AB于点D.
(1)求点B的坐标;
(2)当点P运动什么位置时,△OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标;
(3)当点P运动什么位置时,使得∠CPD=∠OAB,且=,求这时点P的坐标。
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【题目】在如图的直角坐标系中,画出函数的图象,并结合图象回答下列问题:
(1)y的值随x值的增大而______(填“增大”或“减小”);
(2)图象与x轴的交点坐标是_____;图象与y轴的交点坐标是______;
(3)当x 时,y <0 ;
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