Question

7．将下列各式分解为部分分式：
（1）$\frac{x-5}{（x+1）（2x-1）}$；
（2）$\frac{6{x}^{2}+16x+18}{（x+1）（x+2）（x+3）}$．

Answer 1

分析 （1）令$\frac{x-5}{（x+1）（2x-1）}$=$\frac{A}{x+1}+\frac{B}{2x-1}$，把异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法，然后根据等号左右两边分式的分子相同，列出关于A、B的二元一次方程组，再解方程组，求出A、B的值是多少即可．
（2）$\frac{6{x}^{2}+16x+18}{（x+1）（x+2）（x+3）}$=$\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x+3}$，把右边异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法，然后根据左右两边分式的分子相同，列出关于A，B，C的三元一次方程组，再解方程组，求出A，B，C的值是多少即可．

解答 解：（1）令$\frac{x-5}{（x+1）（2x-1）}$=$\frac{A}{x+1}+\frac{B}{2x-1}$，
因为$\frac{A}{x+1}+\frac{B}{2x-1}$
=$\frac{A（2x-1）}{（x+1）（2x-1）}+\frac{B（x+1）}{（x+1）（2x-1）}$
=$\frac{（2A+B）x+B-A}{（x+1（2x-1）}$
所以$\left\{\begin{array}{l}{2A+B=1}\\{B-A=-5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{A=2}\\{B=-3}\end{array}\right.$，
所以$\frac{x-5}{（x+1）（2x-1）}$=$\frac{2}{x+1}-\frac{3}{2x-1}$

（2）令$\frac{6{x}^{2}+16x+18}{（x+1）（x+2）（x+3）}$=$\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x+3}$，
因为$\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x+3}$
=$\frac{A（x+2）（x+3）}{（x+1）（x+2）（x+3）}$+$\frac{B（x+1）（x+3）}{（x+1）（x+2）（x+3）}$$+\frac{C（x+1）（x+2）}{（x+1）（x+2）（x+3）}$
=$\frac{（A+B+C{）x}^{2}+（5A+4B+3C）x+（6A+3B+2C）}{（x+1）（x+2）（x+3）}$
所以$\left\{\begin{array}{l}{A+B+C=6}\\{5A+4B+3C=16}\\{6A+3B+2C=18}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{A=4}\\{B=-10}\\{C=12}\end{array}\right.$，
所以$\frac{6{x}^{2}+16x+18}{（x+1）（x+2）（x+3）}$=$\frac{4}{x+1}-\frac{10}{x+2}+\frac{12}{x+3}$．

点评 （1）此题主要考查了异分母分式加减法的运算法则，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握通分的方法，把异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法．
（2）此题还考查了二元一次方程组、三元一次方程组的求解方法，要熟练掌握．