分析 (1)画出互相垂直的两直径即可;
(2)当BQ=CD=b时,PQ将四边形ABCD的面积二等份,连接BP并延长交CD的延长线于点E,证△ABP≌△DEP求出BP=EP,连接CP,求出S△BPC=S△EPC,作PF⊥CD,PG⊥BC,由BC=AB+CD=DE+CD=CE,求出S△BPC-S△CQP+S△ABP=S△CPE-S△DEP+S△CQP,即可得出S四边形ABQP=S四边形CDPQ即可.
解答 解:(1)如图1所示,
(2)存在,当BQ=CD=b时,PQ将四边形ABCD的面积二等份,
理由是:如图2,连接BP并延长交CD的延长线于点E,
∵AB∥CD,
∴∠A=∠EDP,
在△ABP和△DEP中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠EDP}\\{AP=DP}\\{∠APB=∠DPE}\end{array}\right.$,
∴△ABP≌△DEP(ASA),
∴BP=EP,
连接CP,
∵△BPC的边BP和△EPC的边EP上的高相等,
又∵BP=EP,
∴S△BPC=S△EPC,
作PF⊥CD,PG⊥BC,则BC=AB+CD=DE+CD=CE,
由三角形面积公式得:PF=PG,
在CB上截取CQ=DE=AB=a,则S△CQP=S△DEP=S△ABP
∴S△BPC-S△CQP+S△ABP=S△CPE-S△DEP+S△CQP
即:S四边形ABQP=S四边形CDPQ,
∵BC=AB+CD=a+b,
∴BQ=b,
∴当BQ=b时,直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.
点评 本题考查了应用作图与设计、三角形的面积等知识点的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理的能力,注意:等底等高的三角形的面积相等.
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