Question

12．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，则AD与EF的关系是（　　）

• A． EF垂直平分AD
• B． AD垂直平分EF
• C． AD与EF互相垂直平分
• D． 不能确定

Answer 1

分析 根据三角形的角平分线的性质定理求出DE=DF，证Rt△ADE≌Rt△ADF，推出AE=AF，根据垂直平分线的性质定理解答即可．

解答 证明：设AD、EF的交点为K，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF．
又∵∠EAD=∠FAD，AK=AK，
∴△AEK≌△AFK，
∴EK=KF，∠AKE=∠AKF=90°，
∴AD是线段EF的垂直平分线，
即AD垂直平分EF，
故选B．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线的性质的应用，找到Rt△AED和Rt△ADF，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，即可证明．