Question

【题目】如图，E为圆O上的一点，C为劣弧EB的中点．CD切于点C，交的直径AB的延长线于点D．延长线段AE和线段BC，使之交于点F．

（1）求证：和都是等腰三角形；

（3）若，，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）如图（见解析），连接OC，先根据圆周角定理可得，再根据圆周角定理、圆心角定理可得，，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，，最后根据等量代换、等腰三角形的判定即可得证；

（2）如图（见解析），连接OC、BE，先根据圆的切线的性质和勾股定理求出圆O的半径，从而可得，再根据圆周角定理、角的和差可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，最后根据线段的和差即可得．

（1）如图，连接OC

∵AB是圆O的直径

∴

∵C为劣弧EB的中点

∴，

在和中，

∴

∴，

是等腰三角形

∴

∴是等腰三角形；

（2）如图，连接OC、BE

设圆O的半径为，则，

是圆O的切线

，即

在中，，即

解得

，，

由圆周角定理得：，

由（1）可知，

，即

在和中，

，即

解得

则．