Question

【题目】如图，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式的一般式．

（2）若抛物线上有一点P，满足∠ACO＝∠PCB，求P点坐标．

（3）直线l：y＝kx﹣k+2与抛物线交于E、F两点，当点B到直线l的距离最大时，求△BEF的面积．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）（4，5）或（）；（3）10

【解析】

（1）把C点坐标代入y=a（x+1）（x-3）中求出a的值即可得到抛物线解析式；
（2）分两种情况，当点P在直线BC的下方时，过点B作BE⊥BC交CP的延长线于点E，过点E作EM⊥x轴于点M，由直角三角形的性质可求得ME，BM长，求出点E的坐标，可求出直线CE的解析式，联立直线和抛物线方程可求出点P的坐标；当点P在直线BC的上方时，过点B作BF⊥BC交CP于点F，同理求出点F的坐标和直线CF的解析式，联立直线和抛物线方程可求得点P的坐标；
（3）求出直线y=kx-k+2恒过定点H（1，2），连结BH，当BH⊥直线l时，点B到直线l的距离最大时，求出此时k的值，可求出点E，F的坐标，则△BEF的面积可求出．

解：（1）把C（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），

得﹣3a＝﹣3，解得a＝1，

所以抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；

（2）当点P在直线BC的下方时，如图1，过点B作BE⊥BC交CP的延长线于点E，过点E作EM⊥x轴于点M，

∵y＝（x+1）（x﹣3），

∴y＝0时，x＝﹣1或x＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∴，

∵OB＝OC＝3，

∴∠ABC＝45°，，

∵∠ACO＝∠PCB，

∴，

∴，

∵∠CBE＝90°，

∴∠MBE＝45°，

∴BM＝ME＝1，

∴E（4，﹣1），

设直线CE的解析式为y＝kx+b，

∴ ，

解得： ，

∴直线CE的解析式为 ，

∴ ，

解得， ，

把代入得，

∴ ，

当点P在直线BC的上方时，过点B作BF⊥BC交CP于点F，如图2，

同理求出，FN＝BN＝1，

∴F（2，1），

求出直线CF的解析式为y＝2x﹣3，

∴ ，

解得：x1＝0，x2＝4，

∴P（4，5）．

综合以上可得点P的坐标为（4，5）或（）；

（3）∵直线l：y＝kx﹣k+2，

∴y﹣2＝k（x﹣1），

∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，

∴直线y＝kx﹣k+2恒过定点H（1，2），如图3，连结BH，当BH⊥直线l时，点B到直线l的距离最大时，

求出直线BH的解析式为y＝﹣x+3，

∴k＝1，

∴直线l的解析式为y＝x+1，

∴ ，

解得： ， ，

∴E（﹣1，0），F（4，5），

∴ ．