Question

【题目】如图，已知抛物线y=x2+mx+n与x轴相交于点A、B两点，过点B的直线y=x+b交抛物线于另一点C（－5,6），点D是线段BC上的一个动点（点D与点B、C不重合），作DE∥AC，交该抛物线于点E，

（1）求m,n,b的值；

（2）求tan∠ACB；

（3）探究在点D运动过程中，是否存在∠DEA=45°，若存在，则求此时线段AE的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）m=1,n=；（2）；（3）

【解析】分析：（1）由点C的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式中的常数项b，再令一次函数解析式中y=0求出x值，由此可得出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出二次函数解析式中的系数m、n；

（2）过点C作CF⊥x轴于点F，过点A作AG⊥BC于点G，由二次函数解析式可求出交点A、B的坐标，由点B、C、A点的坐标，可找出线段CF、BF、AF、BA的长，通过解直角三角形即可找出BG、AG、BC的长，再根据正切的计算公式即可得出结论；

（3）假设存在，连接AE，过点E作EM⊥x轴于点M，通过角的计算得出∠BAE=∠BDE=∠BCA，设出点E的坐标，根据（2）的结论tan∠ACB=，即可得出关于t的一元二次方程，解方程即可得出结论．

详解：(1)∵直线y=x+b经过点C(5，6) ∴b=1

∵B在x轴上，且在直线y=x+b上 ∴B(1，0)

∵抛物线y=x2+mx+n过B(1，0)、C(5，6)

∴ m=1,n=

(2)作CF⊥x轴于F，作AG⊥BC于G

∴F(5,0)

∵抛物线y=x2+mx+n与x轴交于A、B

∴A(3,0) B(1,0)∴CF=BF=6,AF=2,AB=4∴∠CBF=45°,BC=6,

∴BG=AG=2 ∴CG=4

∴tan∠ACB=

(3) ∵DE∥AC ∴∠BDE=∠BCA∵∠DEA=45° ∠DBA=45°

∴∠BAE=∠BDE=∠BCA

∴tan∠BAE=

设E（t, t2+t） ∴tan∠BAE＝=

∴t=0 ∴E(0, ) ∴AE=