练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P以每秒2个单位长度由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，同时点Q以每秒a个单位长度由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，连接PQ．设时间为t（0＜t＜5）秒．
    （1）当a=1时．
    ①当t为何值时，PQ∥BO？
    ②设△AQP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．
    （2）当a＞0时，以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，求a的值．
    考点：相似形综合题
    专题：综合题
    分析：（1）①如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式
    AP
    AB
    =
    AQ
    AO
    ，求出t的值；
    ②过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO，易得△APD∽△ABO，利用对应边成比例表示出PD的长度，继而可得S关于t的表达式，利用配方法求最值即可．
    （2）若△OPQ与△AOB相似，由题意可知：0°＜∠POQ＜90°，需要分三种情况讨论，①当∠POQ=∠OAB且∠PQO=90°时，②当∠POQ=∠OAB且∠OPQ=90°时，③当∠PAQ=∠ABO且∠PQO=90°时，分别利用相似三角形对应边成比例的性质，表示出BP、AQ，从而得出a的值．
    解答：解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），
    ∴OB=6，OA=8，
    在Rt△OAB中，AB=
    		OA2+OB2
    =
    		62+82
    =10，
    如图①，当PQ∥BO时，AQ=t，BP=2t，则AP=10-2t．
    ∵PQ∥BO，
    ∴
    AP
    AB
    =
    AQ
    AO
    ，即
    10-2t
    10
    =
    t
    8
    ，
    解得：t=
    40
    13
    ，
    ∴当t=
    40
    13
    秒时，PQ∥BO．
    如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO，
    ∴△APD∽△ABO，
    ∴
    AP
    AB
    =
    PD
    OB
    ，即
    10-2t
    10
    =
    PD
    6
    ，
    解得：PD=6-
    6
    5
    t，
    ∴S=
    1
    2
    AQ×PD=
    1
    2
    t（6-
    6
    5
    t）=-
    3
    5
    t2+3t=-
    3
    5
    （t-
    5
    2
    ）+
    15
    4
    （0＜t＜5），
    ∴当t=
    5
    2
    时，S取得最大值，最大值为
    15
    4
    ．

    （2）若△OPQ与△AOB相似，由题意可知：0°＜∠POQ＜90°，

    ①当∠POQ=∠OAB且∠PQO=90°时（如图③），△OPQ∽△ABO，
    ∴PQ垂直平分OA，
    ∴OQ=AQ=4，
    ∴AP=OP=5，BP=AB-AP=5，
    ∴10-2t=5，at=4，
    ∴a=
    8
    5
    ；
    ②当∠POQ=∠OAB且∠OPQ=90°时（如图③），△OPQ∽△AOB，
    ∴OQ=
    5
    4
    OP=
    25
    4
    ，at=8-
    25
    4
    =
    7
    4
    ，
    又∵t=
    5
    2
    ，
    ∴a=
    7
    10
    ；
    ③当∠PAQ=∠ABO且∠PQO=90°时（如图④），△OPQ∽△BAO，
    此时OP⊥AB，
    ∴OP=
    4
    5
    OB=
    24
    5
    ，BP=
    3
    5
    OB=
    18
    5
    ，
    ∴t=
    9
    5
    ，at=8-
    3
    5
    OP=
    128
    25
    ，
    ∴a=
    128
    45
    ，
    综上可得：a的值为
    8
    5
    或
    7
    10
    或
    128
    45
    时，以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似．
    点评：本题考查了相似形的综合，是典型的动点型问题，解题过程中，综合利用了平行线分线段成比例定理（或相似三角形的判定与性质）、勾股定理、二次函数求极值，难点在第（2）问，很容易漏解，同学们注意分类讨论思想的运用．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    有一个角相等的两个菱形相似．
     
    ．（判断对错）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    解方程：
    （1）9x2-2=0
    （2）x2-4x-5=0．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    下列四组图形中必相似的是（　　）
    A、有一组邻边相等的两个平行四边形
    B、有一个角相等的两个等腰梯形
    C、对角线互相垂直的两个矩形
    D、对角线互相垂直且相等的两个四边形

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点．
    （1）请判断四边形EGFH的形状，并说明理由．
    （2）连接EF与GH，猜想EF与GH有怎样的特殊关系？请证明你的猜想．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    定义：在三角形所在的平面上任作一条直线，若该直线将这个三角形分割成两部分，且分割后至少有一部分与原三角形相似，则这条直线叫做这个三角形的相似分割线．
    （1）如图1，在△ABC中，已知∠ACP=∠B，则直线CP就是△ABC的相似分割线．
    ①若∠A=90°，请在图1中作出过点P的△ABC的其余的相似分割线；
    ②如图2，在△ABC中，若直线CF是△ABC过点C的相似分割线，点P在线段AF（包含点F、不包含点A）上运动，请写出△ABC的过点P的所有相似分割线的条数．
    （2）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，H、G是⊙O上不同的两点，B是
    AH
    的中点，C是
    AG
    的中点，且AG、AH分别交BC于点D、E两点．
    ①求证：AG和AH都是△ABC的相似分割线；
    ②如果AE、AD恰好又是△ABD和△ACE的相似分割线，试说明：此时D、E两点刚好是BC边上的黄金分割点．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    把抛物线y=-2（x+2）2-1先沿y轴向右平移3个单位，再沿x轴向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    一组数据1，2，x，0，-1的极差为3，则整数x的值是
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知A为数轴上的一点，将A先向右移动7个单位，再向左移动4个单位，得到点B，若A、B两点对应的数恰好互为相反数，求A点对应的数．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案