Question

9．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC．求证：
（1）ED=AD；
（2）AC²=2AB•AE．

Answer 1

分析 （1）由BC是直径，得到BD⊥AC，根据BD平分∠ABC，于是得到△ABC是等腰三角形，AD=CD，根据四边形BCDE是圆内接四边形，推出∠AED=∠ACB，证得△ADE∽△ABC，即可得到结论；
（2）根据△ADE∽△ABC，得到比例式$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$，由等式的性质即可得到AC²=2AB•AE．

解答 解：（1）∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴BD⊥AC，
∵BD平分∠ABC，BD⊥AC，
∴△ABC是等腰三角形，AD=CD，
∵四边形BCDE是圆内接四边形，
∴∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE是等腰三角形，
∴AD=DE；

（2）∵△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$=$\frac{2BC}{2DE}$=$\frac{2AB}{AC}$，
∴AC²=2AB•AE．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理及圆内接四边形的性质，综合考察的知识点较多，解答本题的关键在于判断△ABC和△ADE是等腰三角形．