Question

等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E；
（1）如图（1），若A（0，1），B（2，0），求C点的坐标；
（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE
（3）如图（3），在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点C作CF⊥y轴于点F通过证△ACF≌△ABO得CF=OA=1，AF=OB=2，求得OF的值，就可以求出C的坐标；
（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，先证明△ACG≌△ABD就可以得出CG=AD=CD，∠DCE=∠GCE=45°，再证明△DCE≌△GCE就可以得出结论；
（3）在OB上截取OH=OD，连接AH，由对称性得AD=AH，∠ADH=∠AHD，可证∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO，在证明△ACE≌△BAH就可以得出结论．

解答：（1）解：过点C作CF⊥y轴于点F，
∴∠AFC=90°，
∴∠CAF+∠ACF=90°．
∵△ABC中是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴AC=AB，∠CAF+∠BAO=90°，∠AFC=∠BAC，
∴∠ACF=∠BAO．
在△ACF和△ABO中，

∠AFC=∠BAC ∠ACF=∠BAO AC=AB

，
∴△ACF≌△ABO（AAS）
∴CF=OA=1，AF=OB=2
∴OF=1
∴C（-1，-1）；

（2）证明：过点C作CG⊥AC交y轴于点G，
∴∠ACG=∠BAC=90°，
∴∠ACG+∠GAC=90°．
∵∠CAG+∠BAO=90°，
∴∠AGC=∠BAO．
∵∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAO=90°，
∴∠ADO=∠BAO，
∴∠AGC=∠ADO．
在△ACG和△ABD中

∠AGC=∠ADO ∠ACG=∠BAC AC=AB

∴△ACG≌△ABD（AAS），
∴CG=AD=CD．
∵∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠DCE=∠GCE=45°，
在△DCE和△GCE中，

DC=GC ∠DCE=∠GCE CE=CE

，
∴△DCE≌△GCE（SAS），
∴∠CDE=∠G，
∴∠ADB=∠CDE；

（3）解：在OB上截取OH=OD，连接AH
由对称性得AD=AH，∠ADH=∠AHD．
∵∠ADH=∠BAO．
∴∠BAO=∠AHD．
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABO=∠EBO，
∵∠AOB=∠EOB=90°．
在△AOB和△EOB中，

∠ABO=∠EBO OB=OB ∠AOB=∠EOB

，
∴△AOB≌△EOB（ASA），
∴AB=EB，AO=EO，
∴∠BAO=∠BEO，
∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO．
∴∠AEC=∠BHA．
在△AEC和△BHA中，

∠AEC=∠BHA ∠CAE=∠ABO AC=AB

，
∴△ACE≌△BAH（AAS）
∴AE=BH=2OA
∵DH=2OD
∴BD=2（OA+OD）．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．