Question

16．如图，等边△ABC的边长为10，D为AC上任意一点，延长AB至点E，使BE=CD，连接DE交BC于点P．
（1）求证：DP=PE；
（2）若D为AC的中点，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）作DM∥AB交BC于M，可得出△CDM是等边三角形，BE=DM，再求出△DPM≌△EPB，由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）根据△BPE≌△MPD得到PM=BP，再证明△CDM是等边三角形，进而得到答案．

解答 （1）证明：作DM∥AB交BC于M，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠A=∠ABC=60°，
∵DM∥AB，
∴∠CDM=∠A=60°，
∴△CDM是等边三角形，
∴CD=DM，
∵BE=CD，
∴BE=DM，
∵DM∥AB，
∴∠E=∠MDP，∠EBP=∠DMP，
在△DPM与△EPB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠MDP}\\{BE=DM}\\{∠EBP=∠DMP}\end{array}\right.$，
∴△DPM≌△EPB（ASA），
∴DP=PE．
（2）解：由（1）得△BPE≌△MPD，
∴PM=BP，
∵∠C=∠CMD=60°，
∴∠CDM=60°，
∴△CDM是等边三角形，
∴CD=CM=DM，
∵D为AC的中点，
∴CD=CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC=5，
∴BP=$\frac{1}{2}$BF=2.5．

点评 本题考查的是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．