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(2013年四川绵阳12分)如图,AB是⊙O的直径,C是半圆O上的一点,AC平分∠DAB,AD⊥CD,垂足为D,AD交⊙O于E,连接CE.

(1)判断CD与⊙O的位置关系,并证明你的结论;

(2)若E是的中点,⊙O的半径为1,求图中阴影部分的面积.

 

【答案】

解:(1)CD与⊙O相切。理由如下:

∵AC为∠DAB的平分线,∴∠DAC=∠BAC。

∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA。,∴∠DAC=∠OCA。

∴OC∥AD。

∵AD⊥CD,∴OC⊥CD。

∵OC是⊙O的半径,∴CD与⊙O相切。

(2)如图,连接EB,由AB为直径,得到∠AEB=90°,

∴EB∥CD,F为EB的中点。∴OF为△ABE的中位线。

∴OF=AE=,即CF=DE=

在Rt△OBF中,根据勾股定理得:EF=FB=DC=

∵E是的中点,∴=,∴AE=EC。∴S弓形AE=S弓形EC

∴S阴影=SDEC=××=

【解析】(1)CD与圆O相切,理由为:由AC为角平分线得到一对角相等,再由OA=OC,利用等边对等角得到一对角相等,等量代换得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行得到OC与AD平行,根据AD垂直于CD,得到OC垂直于CD,即可得证。

(2)根据E为弧AC的中点,得到弧AE=弧EC,利用等弧对等弦得到AE=EC,可得出弓形AE与弓形EC面积相等,阴影部分面积拼接为直角三角形DEC的面积,求出即可。

考点:角平分线定义,等腰三角形的性质,平行的判定和性质,切线的判定,圆周角定理,三角形中位线定理,勾股定理,扇形面积的计算,转换思想的应用。

 

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中位数

方差

命中10环的次数

7

    

    

0

    

    

    

1

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