【题目】已知四边形ABCD是平行四边形,且以BC为直径的⊙O经过点A.
(1)如图①,若AD与⊙O相切,求∠ABC的度数;
(2)如图②,若AD与⊙O相交,交点E为AD的中点,求∠ABC的度数.
【答案】(1)∠ABC=45°;(2)∠ABC=60°.
【解析】
(1)由AD与⊙O相切,得到∠OAD=90°,根据四边形ABCD是平行四边形,得到AD∥BC,根据平行线的性质得到∠AOB=∠DAO=90°,即可得到结论;
(2)连接AO,OE,由四边形ABCD是平行四边形,得到AD=BC,推出四边形ABOE是平行四边形,证得ABOE是菱形,于是得到结论.
解:(1)∵AD与⊙O相切,
∴∠OAD=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠AOB=∠DAO=90°.
∵OA=OB,
∴∠ABC=45°;
(2)连接AO,OE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC.
∵点E为AD的中点,O为BC的中点,
∴AE=BO,AE∥BO,
∴四边形ABOE是平行四边形.
∵OB=OE,
∴ABOE是菱形,
∴AB=OB=AO,
∴△ABO是等边三角形,
∴∠ABC=60°.
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【题目】国庆70华诞期间,各超市购物市民络绎不绝,呈现浓浓节日气氛.“百姓超市”用320元购进一批葡萄,上市后很快脱销,该超市又用680元购进第二批葡萄,所购数量是第一批购进数量的2倍,但进价每市斤多了0.2元.
(1)该超市第一批购进这种葡萄多少市斤?
(2)如果这两次购进的葡萄售价相同,且全部售完后总利润不低于,那么每市斤葡萄的售价应该至少定为多少元?
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【题目】已知抛物线C1的函数解析式为y=ax2-2x-3a,若抛物线C1经过点(0,-3).
(1)求抛物线C1的顶点坐标.
(2)已知实数x>0,请证明x+≥2,并说明x为何值时才会有x+=2;
(3)若将抛物线先向上平移4个单位,再向左平移1个单位后得到抛物线C2,设A(m,y1),B(n,y2)是C2上的两个不同点,且满足:∠AOB=90,m>0,n<0.请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S,并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式.(参考公式:在平面直角坐标系中,若P(x1,y1),Q(x2,y2),则P,Q两点间的距离为)
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【题目】如图1,已知二次函数y=ax2+x+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),连接AB、AC.
(1)请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式;
(2)判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标;
(4)如图2,若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求此时点N的坐标.
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【题目】体育课上,老师为了解女学生定点投篮的情况,随机抽取8名女生进行每人4次定点投篮的测试,进球数的统计如图所示.
(1)求女生进球数的平均数、中位数;
(2)投球4次,进球3个以上(含3个)为优秀,全校有女生1200人,估计为“优秀”等级的女生约为多少人?
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【题目】在正方形ABCD中,连接BD.
(1)如图1,AE⊥BD于E.直接写出∠BAE的度数.
(2)如图1,在(1)的条件下,将△AEB以A旋转中心,沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′,AB′与BD交于M,AE′的延长线与BD交于N.
①依题意补全图1;
②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系,并证明.
(3)如图2,E、F是边BC、CD上的点,△CEF周长是正方形ABCD周长的一半,AE、AF分别与BD交于M、N,写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路.(不必写出完整推理过程)
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【题目】为了促进学生多样化发展,某校组织开展了社团活动,分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团(要求人人参与社团,每人只能选择一项).为了解学生喜爱哪种社团活动,学校做了一次抽样调查.根据收集到的数据,绘制成如下两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息,完成下列问题:
(1)此次共调查了多少人?
(2)求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数;
(3)请将条形统计图补充完整;
(4)若该校有1500名学生,请估计喜欢体育类社团的学生有多少人?
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