Question

要在半径长为1米、圆心角为60°的扇形AOB铁皮上截取一块尽可能大的正方形．小明设计如下两种截取方案．
方案一（如图1）：C在半径OA上，D、E在半径OB上，F在弧AB上；
方案二（如图2）：C在OA上，D在OB上，E，F在弧AB上．
请通过计算这两种方案中正方形铁皮的面积帮小明选择合理的方案．（参考数据：）

Answer 1

解：方案一：如图1
连接OF，设正方形CDEF的边长为x，
∵圆心角为60°，
∴OD=，
则在Rt△OFE中，
OF²=OE²+EF²，即1²=x²+（x+）²，
解得x²=，
∴S_{四边形CDEF}=x²=≈0.29；

方案二：如图2所示，
过O作OG⊥EF，交CD于点H，连接OE，
设EG=x，
∵四边形CDEF是正方形，
∴OH⊥CD，
∴EG=DH=x，
∵∠DOC=60°，H为CD中点，
∴OH=DH，
∴OG=OH+HG=HC+CF=x+2x，
在Rt△OEG中，
OE²=GE²+OG²，即1²=x²+（x+2x）²，
解得x²=，
∴S_{四边形CDEF}=4x²=2-≈0.27，
∴第（一）种方案截取的正方形的面积最大．
分析：根据题意画出图形，分别连接PQ和过O作OG⊥DE，交CF于点H，连接OF，构造直角三角形求得正方形的边长，求得正方形的面积后比较即可．由于正方形内接于扇形，故应分两种情况进行讨论．
点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造出直角三角形，再进行解答．