Question

如图，已知在矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=3cm，BC=7cm．
（1）求证：△AEF≌△DCE；
（2）请你求出EF的长．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的四个角都是直角，可以证明∠ECD+∠CED=90°，再根据EF⊥EC可以证明∠AEF+∠CED=90°，从而得到∠ECD=∠AEF，然后利用角角边定理即可证明；
（2）先求出AE=4cm，再根据全等三角形的对应边相等可得AF=DE，然后利用勾股定理列式进行计算即可求解．

解答：（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠ECD+∠CED=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∴∠ECD=∠AEF，
在△AEF与△DCE中，

∠ECD=∠AEF ∠A=∠D=90° EF=EC

，
∴△AEF≌△DCE（AAS）；

（2）解：∵△AEF≌△DCE，
∴AF=DE，
∵DE=3cm，BC=7cm，
∴AF=3cm，AE=AD-DE=BC-DE=7-3=4cm，
在Rt△AEF中，EF=

AE2+AF2

=

42+32

=5．
故答案为：5．

点评：本题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．