我们定义:有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形．(1)已知:如图1.四边形ABCD是“等对角四边形 .∠A≠∠C.∠A=70°.∠B=80°．求∠C.∠D的度数．(2)在探究“等对角四边形性质时:①小红画了一个“等对角四边形 ABCD.其中∠ABC=∠ADC.AB=AD.此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论,②由此小红猜想:� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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16．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．
（2）在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；
②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．

分析（1）根据四边形ABCD是“等对角四边形”得出∠D=∠B=80°，根据多边形内角和定理求出∠C即可；
（2）①连接BD，根据等边对等角得出∠ABD=∠ADB，求出∠CBD=∠CDB，根据等腰三角形的判定得出即可；
②不正确．举一个反例即可．

解答解：（1）∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，
∴∠D=∠B=80°，
∴∠C=360°-80°-80°-70°=130°，

（2）①证明：如图2，连接BD，

∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB．
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD；

②不正确．反例：如图3中，∠A=∠C=90°，AB=AD，但CB≠CD．

点评本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、“等对角四边形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题，学会举反例说明问题，属于中考常考题型．

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