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    1．在平面直角坐标系中，?ABOC如图放置，点C的坐标是（-1，0），点A在y轴的正半轴上，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得?A′B′OC′，抛物线y=ax2+bx+4过点C、A、A′，点M是此抛物线的一动点，设点M的横坐标为m．
    （1）求此抛物线的解析式
    （2）当M在x轴及其上方的抛物线上时（点M与点A和点A′都不重合），设△AMA′的面积为S，求S与m的函数关系式．
    （3）求（2）中S的最大值及此时M的坐标．
    （4）若N（t，0）为x轴上的一动点，定点Q坐标为（1，0），以点M、N、B、Q为顶点的四边形是中心对称图形，直接写出t值．
    （5）在（4）中，当以点M、N、B、Q为顶点的四边形即是中心对称图形，又是轴对称图形时，直接写出t值．

    分析 （1）求出C（-1，0），A′（4，0）代入y=ax2+bx+4，转化为方程组解决问题．
    （2）如图1中，分两种情形①当点M在y轴右边时，设M（m，-m2+3m+4），根据S=S△AMO+S△OMA′-S△AOA′计算即可．②当点M在y轴的左边时，设M1（m，-m2+3m+4），根据S=${S}_{△AO{M}_{1}}$+S△AOA′-${S}_{△A′O{M}_{1}}$计算即可．
    （3）根据（2）中的分段函数，分别求出S的取值范围，即可判断．
    （4）分两种情形讨论①以点M、N、B、Q为顶点的四边形是中心对称图形，当BQ为边时，矩形BQN1M1，矩形BQN2M2是中心对称图形，②以点M、N、B、Q为顶点的四边形是中心对称图形，当BQ为对角线时，平行四边形BM1QN3是中心对称图形．
    （5）利用（4）中的结论即可得出结论．

    解答 解：（1）由题意A（0，4），C（-1，0），A′（4，0），
    把C（-1，0），A′（4，0）代入y=ax2+bx+4得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+4=0}\\{16a+4b+4=0}\end{array}\right.$，
    解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
    ∴抛物线的解析式y=-x2+3x+4．

    （2）如图1中，

    ①当点M在y轴右边时，设M（m，-m2+3m+4），
    S=S△AMO+S△OMA′-S△AOA′=$\frac{1}{2}$•4•m+$\frac{1}{2}$•4•（-m2+3m+4）-$\frac{1}{2}$•4•4=-2m2+8m．
    ②当点M在y轴的左边时，设M1（m，-m2+3m+4），
    S=${S}_{△AO{M}_{1}}$+S△AOA′-${S}_{△A′O{M}_{1}}$=$\frac{1}{2}$•4•（-m）+$\frac{1}{2}$•4•4-$\frac{1}{2}$•4•（-m2+3m+4）=2m2-8m，
    综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{2{m}^{2}-8m}&{（-1≤m＜0）}\\{-2{m}^{2}+8m}&{（0＜m≤4）}\end{array}\right.$．

    （3）由（2）可知，当-1≤m＜0时，0＜s≤10，
    当0＜m≤-4时，0＜S≤8，
    ∴当m=-1时，S的值最大，最大值为10，此时M（-1，0）．

    （4）如图2中，

    ①以点M、N、B、Q为顶点的四边形是中心对称图形，当BQ为边时，矩形BQN1M1，矩形BQN2M2是中心对称图形，此时N1（3，0），N2（0，0）．
    ②以点M、N、B、Q为顶点的四边形是中心对称图形，当BQ为对角线时，平行四边形BM1QN3是中心对称图形，此时N3（-1，0）．
    综上所述，点M、N、B、Q为顶点的四边形是中心对称图形，t值为-1或0或3．

    （5）由（4）可知当以点M、N、B、Q为顶点的四边形即是中心对称图形，又是轴对称图形时，t值为0或3．

    点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、三角形的面积、中心对称图形、轴对称图形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，考虑问题要全面，注意不能漏解，属于中考压轴题．

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