Question

已知关于x的方程4x²-8nx-3n=2和x²-（n+3）x-2n²+2=0．问是否存在这样的n的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：先根据根的判别式来确定方程（1）是否有实数根；然后再由根与系数的关系用n来表示两个实数根的差的平方；最后，根据解得的第二个方程的两根，并由已知条件来求n的值．

解答：解：由△₁=（-8n）²-4×4×（-3n-2）=（8n+3）²+23＞0，知n为任意实数时，方程（1）都有实数根．
设第一个方程的两根为α、β．则α+β=2n，αβ=

-3n-2

4

．
于是，（α-β）²=（α+β）²-4αβ，
=4n²+3n+2；
由第二个方程得
[x-（2n+2）][x+（n-1）]=0，
解得两根为x₁=2n+2，x₂=-n+1；
若x₁为整数，则4n²+3n+2=2n+2．
于是n₁=0，n₂=-

1

4

．
当n=0时，x₁=2是整数；
n=-

1

4

时，x=

3

2

不是整数，舍去．
若x₂为整数，则4n²+3n+2=1-n．
有n₃=n₄=-

1

2

．此时x₂=

3

2

不是整数，舍去．
综合上述知，当n=0时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根．

点评：本题主要考查了利用根与系数是关系及一元二次方程的根的判别式来解答一元二次方程的整数根与有理根．