Question

【题目】如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，过O点作OC⊥AB且交⊙O于C点，延长AB到D，过点D作⊙O的切线DE，切点为E，连接CE交AB于F点．

（1）求证：DE＝DF；

（2）若⊙O的半径为2，求CF·CE的值；

（3）若⊙O的半径为2，∠D＝30°，则阴影部分的面积　 　．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）8；（3）2﹣π．

【解析】

（1）欲证明DE＝DF，只要证明∠DEF＝∠EFD即可．

（2）延长CO交⊙O于H，连接EH．证明△COF∽△CEH，推出＝，可得CECF＝COCH解决问题．

（3）根据S阴＝S△EDO﹣S扇形OEB，只要求出DE，∠EOB即可解决问题．

（1）证明：连接OE．

∵DE是⊙O的切线，

∴DE⊥OE，

∴∠OED＝90°，

∴∠DEF+∠OEC＝90°，

∵OC⊥AB，

∴∠COB＝90°，

∴∠C+∠OFC＝90°，

∵OE＝OC，

∴∠OEC＝∠C，

∵∠OFC＝∠DFE，

∴∠DEF＝∠EFD，

∴DE＝DF．

（2）解：延长CO交⊙O于H，连接EH．

∵CH为直径，

∴∠CEH＝90°，

∵OC⊥AB，

∴∠COF＝90°，

∴∠COF＝∠CEH，

∵∠C＝∠C，

∴△COF∽△CEH，

∴＝，

∴CECF＝COCH＝2×4＝8．

（3）解：∵∠OED＝90°，∠D＝30°，OE＝3，

∴OD＝2OE＝4，∠EOB＝60°，DE＝＝＝2，

∴S阴＝S△EDO﹣S扇形OEB＝OEDE﹣＝×2×2﹣π＝2﹣π．

故答案为2﹣π．