Question

如图，若五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠BOC=

72°

，∠ABE=

36°

，∠ADC=

72°

，∠ABC=

108°

．

Answer 1

分析：由五边形ABCDE为正五边形，可得∠BOC为周角的五分之一，求出即可；由内角和定理求出五边形的内角和，根据五边形的五个内角相等，求出每一个内角，可得到∠AED，∠CDE及∠ABC都相等，并求出度数，再由正五边形的边长相等可得AE=DE，得到三角形AED为等腰三角形，由顶角∠AED的度数求出底角∠ADE的度数，根据同弧所对的圆周角的相等可得∠ABE与∠ADE的度数相等，进而求出∠ABE的度数，再由∠CDE-∠ADE可得出∠ADC的度数．

解答：解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠BOC=360°×

1

5

=72°，
又正五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，
∴∠AED=∠CDE=∠ABC=540°×

1

5

=108°，AE=DE，
∴∠ADE=∠DAE=

1

2

（180°-108°）=36°，
又圆周角∠ABE与∠ADE所对的弧都为

AE

，
∴∠ABE=∠ADE=36°，
又∠CDE=108°，∠ADE=36°，
∴∠ADC=∠CDE-∠ADE=108°-36°=72°．
故答案为：72°；36°；72°；108°

点评：此题考查了正五边形的性质，圆周角定理，内角和定理，等腰三角形的性质，利用了转化的思想，结合图形找出已知条件与所求角的关系是解本题的关键．