Question

如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.

（1）求实数a，b，k的值；
（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标. （其中点E和点A，点C和点B分别是对应点）

Answer 1

（1）k=4，，（2）（8，），或（2，）

解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4.…………1分
 故双曲线的函数表达式为.…………2分
设点B（t，），，AB所在直线的函数表达式为，
则有   解得，.…………3分
于是，直线AB与y轴的交点坐标为，…………4分
故，整理得，…………5分
解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．…………6分
因为点A，B都在抛物线（a0）上，
所以 解得  …………7分
（2）如图，
因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4. 又BO=2，所以.
设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D， 则点D的坐标为（，0）.
因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.…………9分
（i）将△绕点O顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.
延长到点，使得=，
这时点（8，）是符合条件的点. …………12分
（ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E_２（2，）是符合条件的点．
所以，点的坐标是（8，），或（2，）.        …………14分
思考：如果不写对应，是否还有点？
（1）把点A的坐标代入可求得k的值，根据△AOB的面积求得点B坐标，把点A，B的坐标代入，可求得a，b，的值；
（2）分两种情况（i）将△绕点O顺时针旋转，得到△，（ii）作△关于x轴的对称图形△，进行解答