Question

12．如图，在平面直角坐标中，过点A（4，0）的抛物线y=-x²+bx与直线y=-x+b交于另一点B．过抛物线y=-x²+bx的顶点E作EF⊥x轴于F点，点M（t，d）为抛物线y=-x²+bx在x轴上方的动点．
（1）填空：b=4；
（2）连结ME．当∠MEF=30°时，请求出t的值；
（3）当t=3时，过点M作MC⊥x轴于C点，交AB于点N，连接ON．点Q为线段BN上一动点，过点Q作QR∥MN交ON于点R，连接MQ、BR．当∠MQR-∠BRN=45°时，求点R的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意，将A点坐标代入直线y=-x+b，即可求出b的值是多少．
（2）首先把b的值代入抛物线y=-x²+bx，求出抛物线的解析式，进一步得到顶点E的坐标；然后根据∠MEF=30°，可得EG=$\sqrt{3}$MG，再分类讨论，求出t的值是多少即可．
（3）首先作NH⊥QR于点H，MP∥OB交AB于点P，分别求出NC、OC的值各是多少，然后设HR=p，则HN=3p，RN=$\sqrt{10}$p，QN=3$\sqrt{2}$p，再根据相似三角形判定的方法，判断出△PMQ∽△NBR，即可推得$\frac{PQ}{NR}=\frac{PM}{NB}$，据此求出p的值，以及点R的坐标是多少即可．

解答 解：（1）∵直线y=-x+b过点A（4，0），
∴-4+b=0，
解得b=4．

（2）①如图1，作MG⊥EF于点G，
，
∵b=4，
∴y=-x²+4x，
∵y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴顶点E的坐标是（2，4），
∵∠MEF=30°，
∴EG=$\sqrt{3}$MG，
∴4-（-t²+4t）=$\sqrt{3}$（2-t），
整理，可得
t²-（4$-\sqrt{3}$）t+4-2$\sqrt{3}$=0
解得t=2-$\sqrt{3}$或t=2（舍去）．

②如图2，作MG⊥EF于点G，
，
∵b=4，
∴y=-x²+4x，
∵y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴顶点E的坐标是（2，4），
∵∠MEF=30°，
∴EG=$\sqrt{3}$MG，
∴4-（-t²+4t）=$\sqrt{3}$（t-2），
整理，可得
t²-（4+$\sqrt{3}$）t+4+2$\sqrt{3}$=0，
解得t=2+$\sqrt{3}$或t=2（舍去）．
综上，可得
当∠MEF=30°时，t=2-$\sqrt{3}$或t=2+$\sqrt{3}$．

（3）如图3，作NH⊥QR于点H，MP∥OB交AB于点P，
，
∵t=3，
∴点M的坐标是（3，3），点N的坐标是（3，1），
∴NC=1，OC=3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y={-x}^{2}+4x}\\{y=-x+4}\end{array}\right.$
可得x=4或x=1，
∴点B的坐标是（1，3），
∴OB=$\sqrt{{1}^{2}{+3}^{2}}=\sqrt{10}$，
∵QR∥MN，
∴∠MNH=∠RHN=90°，
∴∠RQN=∠QNM=45°，
∴∠MNH=∠NCO，
∴NH∥OC，
∴∠HNR=∠NOC，
∴tan∠HNR=tan∠NOC，
即$\frac{HR}{HN}=\frac{NC}{OC}=\frac{1}{3}$，
设HR=p，则HN=3p，RN=$\sqrt{10}$p，QN=3$\sqrt{2}$p，
∴PQ=QN-PN=3$\sqrt{2}$p-$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵ON=$\sqrt{{NC}^{2}{+OC}^{2}}=\sqrt{{1}^{2}{+3}^{2}}=\sqrt{10}$，OB=$\sqrt{10}$，
∴ON=OB，
∴∠OBN=∠BNO，
∵MP∥OB，
∴∠OBN=∠MPB，
∴∠MPB=∠BNO，
∵∠MQR-∠BRN=45°，∠MQR=∠MQN+45°，
∴∠MQN=∠BRN，
在△PMQ和△NBR中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPQ=∠BNR}\\{∠MQP=∠BRN}\end{array}\right.$
∴△PMQ∽△NBR，
∴$\frac{PQ}{NR}=\frac{PM}{NB}$，
∴$\frac{3\sqrt{2}p-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{10}p}=\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{2\sqrt{2}}$
解得p=$\frac{2}{7}$，
∴点R的坐标是（$\frac{15}{7}，\frac{5}{7}$）．
故答案为：4．

点评 （1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了相似三角形判定的方法和性质的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式的方法，要熟练掌握．