Question

12．已知如图所示，过正方形ABCD的顶点A作对角线BD的平行线，在这条直线上取点E，使BE=BD，且BE与AD交于点F，求证：DE=DF．

Answer 1

分析 作AG⊥BD于G，作EH⊥BD于H．先证明四边形AEHG为矩形，根据矩形和正方形的性质得到AG=EH=$\frac{1}{2}$DB，得出EH=$\frac{1}{2}$DB，求出∠EBH=30°，再根据等腰三角形的性质和角的和差关系得到∠DFE=∠DEB，即可得出结论．

解答 证明：作AG⊥BD于G，作EH⊥BD于H．如图所示：
∵AE∥DB，
∴四边形AEHG为矩形，
∴AG=EH=$\frac{1}{2}$DB，
又∵BE=BD，
∴EH=$\frac{1}{2}$BE，
∴∠EBH=30°，
又∵BE=BD，
∴∠DEB=∠EDB=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
又∵∠DFE=∠FDB+∠FBH=45°+30°=75°，
∴∠DFE=∠DEB，
∴DE=DF．

点评 考查了矩形的判定和性质、正方形的性质、含30度角的直角三角形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，作出辅助线是解决问题的关键．