Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中A(a，0)，B(b，0)，D(0，d)，以AB，AD为邻边做平行四边形ABCD，其中a，b，d满足．

（1）求出C的坐标，及平行四边形ABCD的面积；

（2）如图2，线段BC的中垂线交y轴与点E，F为AD的中点，试判断∠EFB的大小，并说明理由；

（3）如图3，过点C作CG⊥x轴与点G，K为线段DG上的一点，KH⊥CK交OG延长线与点H，且∠DKC=3∠KHG，请求出的值．

Answer 1

【答案】（1）C(4，4)，S四边形ABCD=16；（2）∠EFB=90°，理由见解析；（3）．

【解析】

（1）过C作CE⊥x轴于E点，根据平方、二次根式和绝对值的非负性，可求得a，b，d的值，可得A、B、D点坐标，再证明△CBE≌△DAO，可求得点C坐标，即可求得四边形ABCD面积．

（2）连接BE，OF，过F作FG⊥x轴于G，FK⊥y轴于K．已知线段BC的中垂线交y轴与点E，即CE=BE．F为AD的中点，则F(﹣,2)，通过DE2+DC2=EC2=EB2=EO2+OB2，可求得ED长，利用勾股定理分别求出FB2，EF2，BE2，验证FB2+EF2是否等于BE2，如果等于即可证明∠EFB=90°．

设ED=b，

（3）过K作KE⊥KG交CG于E．可证得四边形CDOG是正方形，△EKG是等腰直角三角形，即可证得△ECK≌△GHK，得CK=HK，所以△KCH是等腰直角三角形，因为∠DKC=3∠KHG，所以2∠KHG=45°，∠KHG=∠KCE=22.5°，CD=CG=CE+EG=KE+EG

=KG+KG，即可证得．

（1）∵(a+1)2++|d﹣4|=0，

∴a+1=0，b﹣3=0，d﹣4=0，

∴a=1，b=3，d=4，

∴A(﹣1,0)，B(3,0)，D(0,4)，

∴OA=1，OD=4，

过C作CE⊥x轴于E点．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴∠DAO=∠CBE．

∵∠AOD=∠CEB=90°，

∴△CBE≌△DAO(AAS)，

∴CE=OD=4，BE=AO=1，

∴OE=4，

∴C(4,4)，

∴S四边形ABCD=4×4=16；

（2）连接BE，OF，过F作FG⊥x轴于G，FK⊥y轴于K．

∵线段BC的中垂线交y轴与点E，

∴CE=BE．

∵F为AD的中点，

∴F(﹣,2)，

∴DE2+DC2=EC2=EB2=EO2+OB2，

∴DE2+42=(4﹣DE)2+32，

解得：ED=，

∴FB2=FG2+BG2=4+，EF2=FK2+EK2=+=

BE2=OE2+OB2=9+=．

∵FB2+EF2=+==BE2，

∴△EFB是直角三角形，

∴∠EFB=90°；

（3）如图3，过K作KE⊥KG交CG于E．

∵CG⊥x轴与点G，

∴CD=CG=4，

∴四边形CDOG是正方形，

∴∠DGC=45°，

∴△EKG是等腰直角三角形，

∴KG=KE，

∴∠KEG=∠KGE=45°，

∴∠CEK=∠HGK=135°，

∴△ECK≌△GHK(ASA)，

∴CK=HK，

∴△KCH是等腰直角三角形

∵∠DKC=3∠KHG，

∴2∠KHG=45°，∠KHG=∠KCE=22.5°

∴CD=CG=CE+EG=KE+EG=KG+KG，

∴