Question

如图，在直角坐标平面内，直线y=-x+5与x轴和y轴分别交于A、B两点，二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A、B，且顶点为C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求sin∠OCA的值；
（3）若P是这个二次函数图象上位于x轴下方的一点，且△ABP的面积为10，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据直线方程求得点A、B的坐标；然后把点A、B的坐标代入二次函数解析式，通过方程组来求系数b、c的值；
（2）如图，过点C作CH⊥x轴交x轴于点H，构建等腰△AOC．则∠OAC=∠OCA，故sin∠OCA=sin∠OAC=

CH

AC

=

4

2 5

=

2 5

5

；
（3）如图，过P点作PQ⊥x轴并延长交直线y=-x+5于Q．设点P（m，m²-6m+5），Q（m，-m+5），则PQ=-m+5-（m²-6m+5）=-m²+5m．由S_△ABP=S_△PQB+S_△PQA得到：10=

1

2

(-m2+5m)×5，则易求m的值．注意点P位于第四象限．

解答：解：（1）由直线y=-x+5得点B（0，5），A（5，0），
将A、B两点的坐标代入y=x²+bx+c，得
 

c=5 25+5b+c=0

，
解得

b=-6 c=5

，
∴抛物线的解析式为y=x²-6x+5；

（2）如图，过点C作CH⊥x轴交x轴于点H．
由（1）知，抛物线的解析式为：y=x²-6x+5，则配方 得y=（x-3）²-4，
∴点C（3，-4），
∴CH=4，AH=2，AC=2

5

，
∴OC=5．
∵OA=5，
∴OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴sin∠OCA=sin∠OAC=

CH

AC

=

4

2 5

=

2 5

5

；

（3）如图，过P点作PQ⊥x轴并延长交直线y=-x+5于Q．
设点P（m，m²-6m+5），Q（m，-m+5），则PQ=-m+5-（m²-6m+5）=-m²+5m．
∵S_△ABP=S_△PQB+S_△PQA=

1

2

PQ•OA，
∴10=

1

2

(-m2+5m)×5，
∴m₁=1，m₂=4，
∴P（1，0）（舍去），P（4，-3）．

点评：本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线方程的三种形式，以及三角形面积的求法．解答（3）题时，要注意点P的位置．需要舍去位于x轴上的P（1，0）．