A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
分析 结论(1)正确.因为图中全等的三角形有3对;
结论(2)错误.由全等三角形的性质可以判断;
结论(3)正确.利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断.
结论(4)正确.利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断.
解答 解:结论(1)正确,理由如下:
图中全等的三角形有3对,分别为△AOC≌△BOC,△AOD≌△COE,△COD≌△BOE.
由等腰直角三角形的性质,可知OA=OC=OB,易得△AOC≌△BOC.
∵OC⊥AB,OD⊥OE,∴∠AOD=∠COE.
在△AOD与△COE中,$\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠OCE=45°}\\{OA=OOC}\\{∠AOD=∠COE}\end{array}\right.$
∴△AOD≌△COE(ASA),
同理可证:△COD≌△BOE.
结论(2)错误.理由如下:
∵△AOD≌△COE,
∴S△AOD=S△COE,
∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=${\frac{1}{2}S}_{△ABC}$
即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍.
结论(3)正确,理由如下:
∵△AOD≌△COE,
∴CE=AD,
∴CD+CE=CD+AD=AC=$\sqrt{2}$OA,
∴(CD+CE)2=CD2+CE2+2CD•CE=DE2+2CD•CE=2OA2;
结论(4)正确,理由如下:
∵△AOD≌△COE,∴AD=CE;∵△COD≌△BOE,∴BE=CD.
在Rt△CDE中,由勾股定理得:CD2+CE2=DE2,∴AD2+BE2=DE2.
∵△AOD≌△COE,∴OD=OE,
又∵OD⊥OE,∴△DOE为等腰直角三角形,∴DE2=2OE2,∠DEO=45°.
∵∠DEO=∠OCE=45°,∠COE=∠COE,
∴△OEP∽△OCE,
∴$\frac{OE}{OC}$=$\frac{OP}{OE}$,
即OP•OC=OE2.
∴DE2=2OE2=2OP•OC,
∴AD2+BE2=2OP•OC.
综上所述,正确的结论有3个,
故选:C.
点评 本题是几何综合题,考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点.难点在于结论(4)的判断,其中对于“OP•OC”线段乘积的形式,可以寻求相似三角形解决问题.
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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