Question

10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线上一个动点（点P不与点B，C重合），连结PB，PC，以PB，PC为边作?CPBD，设?CPBD的面积为S，点P的横坐标为m．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）当点P在第四象限，且?CPBD有两个顶点在x轴上时，求点P的坐标；
（3）求S与m之间的函数关系式；
（4）当x轴将?CPBD的面积分成1：7两部分时，直接写出m的值．

Answer 1

分析 （1）利用交点式求抛物线的解析式；
（2）先确定点D在x轴上，再利用平行四边形的性质可判断PC∥x轴，然后根据抛物线的对称性确定点P的坐标；
（3）作PQ∥y轴交直线BC于Q，如图1，利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x-3，设P（m，m²-2m-3），则Q（m，m-3），讨论：当0＜m＜3时，如图1，PQ=-m²+3m，利用三角形面积公式和平行四边形的性质得S=2S_△PBC=2（S_△PQC+S_△PQB）=-3m²+9m；当m＜0或m＞3时，如图2，PQ=m²-3m，同理可得S=2S_△PBC=2（S_△PBQ-S_△PQC）=3m²-9m；
（4）讨论：当点P在x轴下方，如图3，CD交x轴于E，利用已知条件得到S_△DEB：S_{平行四边形CPBD}=1：8，再根据平行四边形的性质得S_△DEB：S_△BCE=1：3，接着根据三角形面积公式得到D点的纵坐标为1，然后利用点平移的坐标规律得到点C向下平移1个单位可得到P点，即P点的纵坐标为-4，则解方程x²-2x-3=-4可得到对应m的值；当点P在x轴上方，如图4，CP交x轴于E，同理可得点P到x轴的距离为1，即P点的纵坐标为1，则通过解方程x²-2x-3=1可得对应m的值．

解答 解：（1）抛物线的解析式为y=（x+1）（x-3），
即y=x²-2x-3；
（2）∵?CPBD有两个顶点在x轴上，
∴点D在x轴上，
而BD∥PC，
∴点P和点C为抛物线上的对称点，
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点P的坐标为（2，-3）；
（3）作PQ∥y轴交直线BC于Q，如图1，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把C（0，-3），B（3，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
设P（m，m²-2m-3），则Q（m，m-3），
当0＜m＜3时，如图1，PQ=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m
S=2S_△PBC=2（S_△PQC+S_△PQB）=2•$\frac{1}{2}$•3•（-m²+3m）=-3m²+9m；
当m＜0或m＞3时，如图2，PQ=m²-2m-3-（m-3）=m²-3m
S=2S_△PBC=2（S_△PBQ-S_△PQC）=2•$\frac{1}{2}$•3•（m²-3m）=3m²-9m；
（4）当点P在x轴下方，如图3，CD交x轴于E，
∵x轴将?CPBD的面积分成1：7两部分，
∴S_△DEB：S_{平行四边形CPBD}=1：8，
∴S_△DEB：S_△BCD=1：4，
∴S_△DEB：S_△BCE=1：3，
而OC=3，
∴点D到x轴的距离为1，即D点的纵坐标为1，
∵四边形CPBD为平行四边形，
∴点C向下平移1个单位可得到P点，即P点的纵坐标为-4，
当x=-4时，x²-2x-3=-4，解得x₁=x₂=1，则P点坐标为（1，-4），
∴m=1；
当点P在x轴上方，如图4，CP交x轴于E，
∵x轴将?CPBD的面积分成1：7两部分，
∴S_△PEB：S_{平行四边形CPBD}=1：8，
∴S_△PEB：S_△BCP=1：4，
∴S_△PEB：S_△BCE=1：3，
而OC=3，
∴点P到x轴的距离为1，即P点的纵坐标为1，
当y=1时，x²-2x-3=1，解得x₁=1+$\sqrt{5}$，x₂=1-$\sqrt{5}$，则P点坐标为（1+$\sqrt{5}$，1）或（1-$\sqrt{5}$，1），
∴m=1+$\sqrt{5}$或m=1-$\sqrt{5}$，
综上所述，m的值为1或1+$\sqrt{5}$或1-$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．