Question

10．（1）过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和为21，求这个多边形的边数；
（2）过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理．

Answer 1

分析 （1）根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，这些对角线分多边形所得的三角形个数是（n-2）列式计算；
（2）与（1）相同的思路，求出边数n进行判断．

解答 解：（1）设这个多边形的边数为n，
由题意得，n-3+n-2=21，
解得，n=13；
（2）由题意得，n-3+n-2=2016，
解得，n=$\frac{2021}{2}$，
因为多边形的边数必须是整数，所以过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2016．

点评 本题考查的是多边形的对角线，n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，这些对角线分多边形所得的三角形个数是（n-2）．