Question

如图，点是等边内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．

（1）求证：△COD是等边三角形；

（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）探究：当为多少度时，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

（1）见解析 （2）直角三角形 （3）125°或110°或140°

【解析】

试题分析：（1）根据旋转可得OC=OD，∠OCD=60°可以进行说明；（2）根据旋转可得∠ADC=150°，然后根据∠ODC=60°可以得到∠ADO=90°；（3）分三种情况进行讨论说明.

试题解析：（1）证明：根据旋转图形的性质可得：OC=OD，∠OCD=60°∴△COD是等边三角形.

（2）【解析】
当α=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形．

∵△BOC≌△ADC， ∴∠ADC=∠BOC=150°

又∵△COD是等边三角形 ∴∠ODC=60° ∴∠AOD=90° 即△AOD是直角三角形．

（3）【解析】
①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO ∵∠AOD=190°－α，∠ADO=α－60°

∴190°－α=α－60° 解得：α=125°；

②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO ∵∠OAD=180°－（∠AOD+∠ADO）=50°，

∴α－60°=50° ∴α=110°；

③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD ∴190°－α=50° ∴α=140°

综上所述：当α的度数为125°，或110°，或140°时，△ABC是等腰三角形

考点：旋转的性质、等腰三角形的判定.