Question

18．如图1，正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），B、C、G三点共线，取线段AE的中点M，连接MD，MF．
（1）探究线段MD，MF的关系；
（2）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图2），其他条件不变，探究线段MD，MF的关系，并加以证明；
（3）将正方形改成菱形，如图3，在菱形ABCD和菱形CGEF中，M是线段AE的中点，连接MD，MF．若∠BCD=∠CGE=2α（0°＜α＜90°），其他条件不变，请直接写出$\frac{MD}{MF}$的值（用含α的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）延长DM交EF于点P，易证AM=EM，即可证明△ADM≌△EPM，可得DM=PM，根据△DFP是直角三角形即可解题；
（2）延长DM交CE于点N，连接FN、DF，易证∠DAM=∠NEM，即可证明△ADM≌△ENM，可得EN=AD，DM=MN，可证CD=EN，即可证明△CDF≌△ENF，可得DF=NF，即可解题．
（3）根据（1）（2）的解答，可知$\frac{MD}{MF}$=tanα．

解答 证明：（1）MD=MF，MD⊥MF，如图1，延长DM交EF于点P，

∵四边形ABCD和四边形FCGE是正方形，
∴AD∥EF，∠MAD=∠MEP．∠CFE=90°．
∴△DFP是直角三角形．
∵M为AE的中点，
∴AM=EM．
在△ADM和△EPM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAD=∠MEP}\\{AM=EM}\\{∠AMD=∠EMP}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△EPM（ASA），
∴DM=PM，AD=PE，
∴M是DP的中点．
∴MF=$\frac{1}{2}$DP=MD，
∵AD=CD，
∴CD=PE，
∵FC=FE，
∴FD=FP，
∴△DFP是等腰直角三角形，
∴FM⊥DP，
即FM⊥DM．
（2）MD=MF，MD⊥MF，
如图2，延长DM交CE于点N，连接FN、DF，

∵CE是正方形CFEG对角线，
∴∠FCN=∠CEF=45°，
∵∠DCE=90°，
∴∠DCF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠NEM，
在△ADM和△ENM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠NEM}\\{AM=EM}\\{∠AMD=∠EMN}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△ENM（ASA），
∴EN=AD，DM=MN，
∵AD=CD，
∴CD=EN，
在△CDF和△ENF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=EN}\\{∠DCF=∠CEF=4{5}^{°}}\\{CF=EF}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△ENF，（SAS）
∴DF=NF，
∴FM=DM，FM⊥DM．
（3）根据（1）（2）的解答，可知$\frac{MD}{MF}$=tanα．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ADM≌△ENM和△CDF≌△ENF是解题的关键．