Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，延长CB至点E，使EB=AD，连接AE．
（1）求证：AE=AC；
（2）若AC平分∠BCD，AC⊥AB，试探究线段BC与AD之间的数量关系？请说明理由．

Answer 1

解：（1）连接BD，
∵AD∥BC，EB=AD，
∴四边形ADBE为平行四边形，
∴AE=BD，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴AE=AC；

（2）∵AD∥BC，AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD=AB，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠BCD=2∠ACB，
∴∠ACB+∠ABC=3∠ACB=90°，
∴∠ACB=30°，
∴BC=2AB=2AD．
分析：（1）连接BD，可证明四边形ADBE为平行四边形，则AE=BD，再根据等腰梯形的性质，可得出结论；
（2）根据题意可得出∠ACB=30°，从而得出BC=2AD．
点评：本题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定以及角平分线的性质，是重点内容，要熟练掌握．