Question

已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是腰DC上的一个动点（P与D、C不重合），点E、F、G分别是线段BC、PC、BP的中点．
（1）试探索四边形EFPG的形状，并说明理由；
（2）若∠A=120°，AD=2，DC=4，当PC为何值时，四边形EFPG是矩形并加以证明．

Answer 1

（1）四边形EFPG是平行四边形．（1分）
理由：∵点E、F分别是BC、PC的中点，
∴EF∥BP．（2分）
同理可证EG∥PC．（3分）
∴四边形EFPG是平行四边形．（4分）

（2）方法一：当PC=3时，四边形EFPG是矩形．（5分）
证明：延长BA、CD交于点M．
∵AD∥BC，AB=CD，∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠C=60°．
∴∠M=60°，
∴△BCM是等边三角形．（7分）
∵∠MAD=180°-120°=60°，
∴AD=DM=2．
∴CM=DM+CD=2+4=6．（8分）
∵PC=3，
∴MP=3，
∴MP=PC，
∴BP⊥CM即∠BPC=90度．
由（1）可知，四边形EFPG是平行四边形，
∴四边形EFPG是矩形．（10分）

方法二：当PC=3时，四边形EFPG是矩形．（5分）
证明：延长BA、CD交于点M．由（1）可知，四边形EFPG是平行四边形．
当四边形EFPG是矩形时，∠BPC=90度．
∵AD∥BC，∠BAD=120°，
∴∠ABC=60度．
∵AB=CD，∴∠C=∠ABC=60度．
∴∠PBC=30°且△BCM是等边三角形．（7分）
∴∠ABP=∠PBC=30°，
∴PC=PM=

1

2

CM．（8分）
同方法一，可得CM=DM+CD=2+4=6，
∴PC=6×

1

2

=3．
即当PC=3时，四边形EFPG是矩形．（10分）