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1.如图,⊙O是以AB为直径的圆,C为⊙O上一点,AE和过点C的切线互相垂直,垂足为E,AE交⊙O于点D,直线EC交AB的延长线于点F,连结CA,CB.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)若⊙O的半径为5,且tan∠DAC=$\frac{1}{2}$,求BC的长.

分析 (1)利用切线的性质得到OC⊥EF,而AE⊥EF,则可判定AE∥OC,利用平行线的性质得到∠EAC=∠OCA,加上∠OCA=∠OAC,于是得到∠OAC=∠OCA;
(2)利用∠OAC=∠OCA得到tan∠OAC=tan∠DAC=$\frac{1}{2}$,设BC=x,则AC=2x,根据勾股定理得到AB=$\sqrt{5}$x,则$\sqrt{5}$x=10,然后解方程求出x即可得到BC的长.

解答 (1)证明:∵EF为切线,
∴OC⊥EF,
∵AE⊥EF,
∴AE∥OC,
∴∠EAC=∠OCA,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴AC平分∠DAB;
(2)解:∵∠OAC=∠OCA,
∴tan∠OAC=tan∠DAC=$\frac{1}{2}$,
设BC=x,则AC=2x,
∴AB=$\sqrt{5}$x,
∴$\sqrt{5}$x=10,解得x=2$\sqrt{5}$,
∴BC=2$\sqrt{5}$.

点评 本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.也考查了解直角三角形.

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12.下列命题是真命题的是(  )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是正方形
C.一组对边平行的四边形是平行四边形
D.四边相等的四边形是菱形

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9.在平面直角坐标系xOy中,对于点P和图形G,如果线段OP与图形G有公共点,则称点P为关于图形G的“亲近点”.
(1)如图,已知点A(1,3),B(1,1),连接AB.
①在P1(1,4),P2(1,2),P3(2,3),P4(5,4)这四个点中,关于线段AB的“亲近点”是点P2,P3
②线段A1B1∥AB,线段A1B1上所有的点都是关于线段AB的“亲近点”,若点A1的横坐标是3,那么线段A1B1最长为6.
(2)已知点C($\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),⊙C与y轴相切于点D.若⊙E的半径为1,圆心E在直线l:y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$上,且⊙E上的所有点都是关于⊙C的“亲近点”,求点E的纵坐标的取值范围.
(3)以M(3,0)为圆心,2为半径作⊙M.点N是⊙M上到原点最近的点,点Q和T是坐标平面内的两个动点,且⊙M上的所有点都是关于△NQT的“亲近点”,求△NQT周长的最小值.

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16.在矩形ABCD中,点E为AD的中点,连接BE、AC,AC⊥BE于点F,连接DF,则下列结论正确的有②③④.
①CF=3AF ②△AEF与△CAB相似 ③DF=DC ④tan∠CAD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

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6.如图,AB∥CD,AD与BC相交于点E,若∠A=40°,∠C=35°,则∠BED=(  )
A.70°B.75°C.80°D.85°

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13.已知平面直角坐标系中,⊙M在第一象限内,点M的坐标为(a+1,a)(其中a>1),⊙M的半径为1,动点P在坐标轴上,过点P作⊙M的切线,则最短的切线长为(  )
A.a-1B.aC.$\sqrt{{a}^{2}-1}$D.$\sqrt{{a}^{2}+2a}$

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10.如图,曲线AB是顶点为B,与y轴交于点A的抛物线y=-x2+4x+2的一部分,曲线BC是双曲线y=$\frac{k}{x}$的一部分,由点C开始不断重复“A-B-C”的过程,形成一组波浪线,点P(2017,m)与Q(2025,n)均在该波浪线上,过点P、Q分别作x轴的垂线,垂足为M、N,连结PQ,则四边形PMNQ的面积为(  )
A.72B.36C.16D.9

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(2)20162-2019×2013
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(4)(2x-$\frac{1}{3}$)2(2x+$\frac{1}{3}$)2

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