Question

【题目】如图1，矩形ABCD，AB=6cm，AD=8cm，点O从点B出发，以1cm/s的速度向点C运动，设O点运动时间为t（单位：s）（0<t<4），以点O为圆心，OB为半径作半圆⊙O交BC 于点M，过点A作⊙O的切线交BC于点N，切点为P.

（1）如图2，当点N与点C重合时，求t；

（2）如图3，连接AO，作OQAO交AN于点Q，连接QM，求证：QM是⊙O的切线；

（3）如图4，连接CP，在点O整个运动过程中，求CP的最小值.

Answer 1

【答案】（1）3 ；（2）见解析；（3）4.

【解析】

（1）连接OP,根据切线的性质与矩形的性质得到△ABC∽△OPC，故,根据勾股定理求出AC，代入即可求出OP,即得到OB的长进行求解.

（2）连接OP，证明△OPQ≌△OMQ，得到∠OMQ＝∠OPQ＝90°，故可证明；

（3）由（2）可知当CP⊥OQ时CP最短，再根据图2利用勾股定理即可求出PC的长.

（1）连接OP,

∵AC是⊙O的切线，∴∠OPC=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=90°，

又∠ACB=∠OCP

∴△ABC∽△OPC，

故,

∵AB=6cm，AD=8cm，

∴AC=

又OP=OB

∴

解得OB=3,

∵点O从点B出发，以1cm/s的速度向点C运动，

∴t=3；

（2）连接OP，

∵BO=OP，∴AO平分∠BAC，

∴∠BAO=∠PAO

∵∠ABC=∠APO=90°，

∴∠AOB=∠AOP

∵AO⊥OQ,

∴∠AOQ=90°，

∴∠AOB+∠QOM=90°, ∠AOP+∠QOP=90°,

故∠QOM=∠QOP

又OP=OM,OQ=OQ

∴△OPQ≌△OMQ

∴∠OMQ＝∠OPQ＝90°，

故QM是⊙O的切线；

（3）由（2）可知当CP⊥OQ时CP最短，

如图2，由（1）可得OC=8-3=5,OP=3，

故CP=

则CP的最小值为4.