Question

如图，在四边形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC＝120°，∠C＝60°，∠BDC＝30°；延长CD到点E，连接AE，使得∠E＝∠C．

(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；

(2)若DC＝12，求AD的长．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)可证明AB∥ED，AE∥BD，即可证明四边形ABDE是平行四边形；由∠ABC＝120°，∠C＝60°，得AB∥ED；∠E＝∠C＝∠BDC＝30°，得AE∥BD； 　　(2)可证得四边形ABCD是等腰梯形，AD＝BC，易证△BDC是直角三角形，可得BC＝DC＝6． 　　解答：证明：(1)∵∠ABC＝120°，∠C＝60°， 　　∴∠ABC＋∠BCD＝180°， 　　∴AB∥DC，即AB∥ED； 　　又∠C＝60°，∠E＝∠C，∠BDC＝30°， 　　∴∠E＝∠BDC＝30°， 　　∴AE∥BD， 　　∴四边形ABDE是平行四边形； 　　解：(2)∵AB∥DC， 　　∴四边形ABCD是梯形， 　　∵DB平分∠ADC，∠BDC＝30°， 　　∴∠ADC＝∠BCD＝60°， 　　∴四边形ABCD是等腰梯形； 　　∴BC＝AD， 　　∵在△BCD中，∠C＝60°，∠BDC＝30°， 　　∴∠DBC＝90°， 　　又DC＝12， 　　∴AD＝BC＝DC＝6． 　　点评：本题考查了知识点较多，有等腰梯形、直角三角形的性质以及平行四边形的判定和性质，只有牢记这些知识才能熟练运用．

提示：

等腰梯形的性质；含30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质．