Question

16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=$\frac{1}{3}$BD，连接DN、MN．若AB=6．
（1）求证：MN=CD；
（2）求DN的长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形中位线定理得到MN=$\frac{1}{2}$BC，根据题意证明；
（2）根据平行四边形的判定定理得到四边形MCDN是平行四边形，得到DN=CM，直角三角形的性质计算即可．

解答 （1）证明：∵M、N分别是AB、AC的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC，MN∥BC，
∵CD=$\frac{1}{3}$BD，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC，
∴MN=CD；

（2）解：连接CM，
∵MN∥CD，MN=CD，
∴四边形MCDN是平行四边形，
∴DN=CM，
∵∠ACB=90°，M是AB的中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$AB，
∴DN=$\frac{1}{2}$AB=3．

点评 本题考查的是三角形中位线定理的应用、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．