Question

已知a、b、c分别是△ABC的三边的长，且满足a²+b²+c²-ab-ca-bc=0．
求证：△ABC是等边三角形．
（提示：通过代数式变形和配成完全平方后来证明）

Answer 1

考点：因式分解的应用

专题：

分析：a²+b²+c²-ab-bc-ca=0整理得（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0，由非负数的性质求得三边相等，所以这是一个等边三角形．

解答：证明：∵a²+b²+c²-ab-bc-ca
=

1

2

（2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca）
=

1

2

[（a²-2ab+b²）+（b²-2bc+c²）+（c²-2ca+a²）]
=

1

2

[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]，
又∵a²+b²+c²-ab-bc-ac=0，
∴

1

2

[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]=0，
根据非负数的性质得，（a-b）²=0，（b-c）²=0，（c-a）²=0，
可知a=b=c，
故这个三角形是等边三角形．

点评：此题主要考查等边三角形的判定的运用，还涉及配方法的应用，非负数的性质等知识点．