Question

【题目】在△ABC中,AB＝BC＝,∠ABC＝120°,△CDE为等边三角形,CD＝2,连接AD,M为AD中点

(1)如图1,当B、C、E三点共线时,证明: BM⊥ME

(2)如图2,当A、C、E三点共线时,求BM的长

(3)如图3,取BE中点N,连MN.将△CDE绕点C旋转,直接写出旋转过程中线段MN的取值范围

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）先作出图形，进而证明△AMF≌△DME，即可得出结论；

（2）同（1）的方法证出△AMF≌△DMF，利用四边形的内角和定理以及平角的定义得出∠BCE=∠BAF即可得出∠BME=90°，最后利用勾股定理即可得出结论；

（2）同（2）的方法得出∠BME=90°，进而得出BE=2MN，最后利用三角形的三边关系即可得出结论.

（1）证明：如图1，延长BA，EM交于点F，即：△FAM即为所求，

∵△CDE是等边三角形

∴CD=CE=DE，∠CED=60°

∵∠ABC=120°

∴∠ABC+∠CED=180°

∵B、C、E三点共线

∴AB∥DE

∴∠F=∠DEM

∵点M是AD中点

∴AM=DM

又∵∠FMA=∠EMD

∴△AMF≌△DME

∴AF=DE=CE，FM=ME

∵AB=BC

∴BF=BE

∴BM⊥ME

（2）证明：如图2，延长EM到点F，使MF=ME，连接BF，AF，，BE，

∵AM=DM，∠FMA=∠DME

∴△AMF≌△DMF

∴AF=DE=CE，∠FAD=ADE

在四边形BADE中

∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°

∵∠ABC=120°，∠CED=60°

∴∠CBE+∠CEB+∠BAD+∠ADE=180°

∵∠CBE+∠CEB+∠BCE=180°

∴∠BCE=∠BAD+∠ADE

∴∠BCE=∠BAF

∵AB=BC

∴△AFB≌△CEB

∴BF=BE，∠ABF=∠CBE

∴∠FBE=∠ABC=120°，∠BEF=30°

∴∠BME=90°，BE=2BM

在△ABC中

AB=AC=,∠ABC=120°

∴∠BAC=30°

过点B作BG⊥AC于点G

∴BG=，CG=AG=3

∴EG=CG+CE=3+2=5

在Rt△BCE中，根据勾股定理得

∴

（3）如图3，延长EM到点F，使MF=ME，连接BF，AF，BM

∵AM=DM，∠FMA=∠DME

∴△AMF≌△DMF

∴AF=DE=CE，∠FAD=∠ADE

在四边形BADE中，

∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°

∵∠ABC=120°，∠CED=60°

∴∠CBE+∠CEB+∠BAD+∠ADE=180°

∵∠CBE+∠CEB+∠BCE=180°

∴∠BCE=∠BAD+∠ADE

∴∠BCE=∠BAF

∵AB=BC

∴△AFB≌△CEB

∴BF=BE，∠ABF=∠CBE

∴∠FBE=∠ABC=120°，∠BEF=30°

∴∠BME=90°

∵点N是BE的中点

∴MN=BE

即：BE=2MN

在△BCE中，BC=，CE=CD=2

∴

∴

∴

故答案为：