Question

12．如图，经过O的直线AC，BD分别与反比例函数y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（k₁＜0），y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（k＞0）相交于点A，C，B，D，且AC⊥BD
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AD⊥y轴于点E，△AOE的面积为1，菱形ABCD的面积为12，求k₁，k₂的值．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数的性质即可得出结论；
（2）根据AD⊥y轴于点E，△AOE的面积为1即可得出k₁的值，再由S_菱形ABCD=4S△AOD=12=AD×2OE=2OE（AE+ED）=2（k₂-k₁）=12，即可得出k₂的值．

解答 （1）证明：∵A、C两点关于原点对称，B、D两点关于原点对称
∴BO=OD，AO=OC．
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；

（2）解：∵AD⊥y轴于点E，△AOE的面积为1，
∴S_△AOE=$\frac{1}{2}$|k₁|=1，
∴k₁=-2．
∵菱形ABCD的面积为12，
∴S_菱形ABCD=4S_△AOD=12=AD×2OE=2OE（AE+ED）=2（k₂-k₁）=12，解得k₂=4．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数的性质及菱形性质等知识，熟知反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键．