Question

19．如图，正方形ABCD的边长为$\sqrt{10}$，对角线AC，BD相交于点O，以AB为斜边在正方形内部作Rt△ABE，∠ABE=90°，连接OE，点P为边AB上的一点，将△AEP沿着EP翻折到△GEP，若PG⊥BE于点F，OE=$\sqrt{2}$，则S_△EPB=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{20}\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 在BE上截取BM=AE，连接OM，OE，AC与BE交于点K，由△OAE≌△OBM得EO=OM，∠AOE=∠BOM，所以∠EOM=∠AOB=90°，得EM=$\sqrt{2}$OE，设AE=BM=a，在RT△ABE中，由AB²=AE²+BE²求出a，得到AE=1，BE=3，根据折叠的性质得到PA=PG，∠APE=∠GPE，根据平行线的性质得到∠AEP=∠GPE=∠APE，进而得到BP的长，再过E作EH⊥AB于H，求得EH的长，即可得到△EPB的面积．

解答 解：如图，在BE上截取BM=AE，连接OM，OE，AC与BE交于点K，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO=OB，
∴∠AEB=∠AOB=90°，
∴∠EAK+∠AKE=90°，∠BKO+∠OBM=90°，
∵∠BKO=∠AKE，
∴∠EAO=∠OBM，
在△OAE和△OBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠OAE=∠OBM}\\{AE=MB}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OBM（SAS），
∴OE=OM，∠AOE=∠BOM，
∴∠EOM=∠AOB=90°，
∴等腰直角三角形EOM中，EM=$\sqrt{2}$OE=2，
设AE=BM=a，
在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²，
∴10=a²+（a+2）²，
∵a＞0，
∴a=1，
∴AE=1，BE=3，
∵△PEG是由△PEA翻折得到，
∴PA=PG，∠APE=∠GPE，
∵PG⊥EB，AE⊥EB，
∴AE∥PG，
∴∠AEP=∠GPE=∠APE，
∴AP=AE=1，PB=$\sqrt{10}$-1，
如图，过E作EH⊥AB于H，则$\frac{1}{2}$AE×BE=$\frac{1}{2}$AB×EH，
∴EH=$\frac{1×3}{\sqrt{10}}$=$\frac{3}{10}\sqrt{10}$，
∴S_△EPB=$\frac{1}{2}$PB•HE=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{10}$-1）×$\frac{3}{10}\sqrt{10}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{20}\sqrt{10}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{20}\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、翻折变换等知识的综合应用，解题的关键是利用旋转的思想添加辅助线，构造全等三角形以及等腰直角三角形，利用直角三角形，运用勾股定理列方程求解．