Question

如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE=

1

2

，求sin∠E．

Answer 1

分析：（1）要证PB是⊙O的切线，只要连接OA，再证∠PBO=90°即可；
（2）连接AD，证明△ADE∽△POE，得到

EA

EP

=

AD

OP

，设OC=t，则BC=2t，AD=2t，由△PBC∽△BOC，可求出sin∠E的值．

解答：（1）证明：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，OP⊥AB于C，
∴BC=CA，PB=PA，
∴△PAO≌△PBO，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴PB为⊙O的切线；

（2）解：连接AD，
∵BD为直径，∠BAD=90°由（1）知∠BCO=90°
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴

EA

EP

=

AD

OP

，
由AD∥OC得AD=2OC
∵tan∠ABE=

1

2

，
∴

OC

BC

=

1

2

设OC=t，则BC=2t，AD=2t，由△PBC∽△BOC，
得PC=2BC=4t，OP=5t，
∴

EA

EP

=

AD

OP

=

2

5

．
可设EA=2，EP=5，则PA=3，
∵PA=PB∴PB=3，
∴sin∠E=

PB

EP

=

3

5

．

点评：本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质；能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键要证某线是圆的切线，对于切线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．